- 问：
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 参考例题 -
- 题目：
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已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1,记f(x)=g(x)x. (1)求a、b的值； (2)若不等式f(2x)−k⋅2x⩾0在x∈[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围。 -
- 考点：
- [函数恒成立问题, 二次函数的性质]
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- 分析：
- （1）根据一元二次函数的性质建立不等式关系进行求解即可．
（2）判断函数g（x）的单调性，利用参数分离法进行求解即可． -
- 解答：
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(1)g(x)=ax2−2ax+1+b的对称轴为x=1， ∵a>0,∴函数在[2,3]上为增函数， ∵g(x)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1， ∴{g(2)=1g(3)=4,即{1+b=13a+b+1=4,得{a=1b=0. (2)∵a=1.b=0,∴g(x)=x2−2x+1， 则f(x)=g(x)x=x+1x−2， 不等式f(2x)−k⋅2x⩾0可化为：2x+12x−2−k⋅2x⩾0， 即k⩽1+(12x)2−2⋅(12x) ， 令t=12x， ∵x∈[−1,1]， ∴t∈[12,2]， 令h(t)=t2−2t+1=(t−1)2,t∈[12,2]， ∴当t=1时,函数取得最小值h(1)=0， ∴k⩽0. 故所以k的取值范围是k⩽0.
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