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数学的抽象:从现实进入数学

 悟痴 2018-09-22
数学的抽象:从现实进入数学

思想与语言之间的关系大体是这样的:一方面,无论是思维的过程还是表达的过程,都是语言承载着思想;另一方面,思想是思维的结果,体现了语言产生,发展与表达的内心活动。

在接下来将要述说的这一部分,所说的数学语言主要是指数学的基本概念和运算法则,这些是数学所要研究的对象,是数学研究的基础;因此,对应的数学思想就是指,数学基本概念和运算法则产生,发展与表达的内心活动,把这种内心活动归结为数学抽象。我们将讨论,人们是如何通过对现实世界中数量与数量关系,图形与图形关系的抽象,得到数学的基本概念和运算法则。

为了清晰地理解什么是抽象,需要先明确关于抽象的两个基本问题:一个问题是抽象的过程,另一个问题是抽象的存在。

数学的抽象:从现实进入数学

抽象的过程。就数学的研究对象而言,数学的抽象经历了两个阶段:第一阶段的抽象是基于现实的,第二阶段的抽象是基于逻辑的。那么,数学抽象的过程是不是有所不同呢?数学抽象的过程能不能分出层次呢?

抽象必须关注研究对象的共性,亚里士多德称之为共相;不仅如此,抽象还必须关注研究对象与其他事物的差异,可以称之为异相。把握共相,明晰异相,把所要研究的对象从诸多的事物中分离出来形成集合,对集合以及集合中的元素进行命名,这就是对研究对象进行抽象的基本思维过程。正如卡西尔所说,命名行为是不可或缺的首要步骤和条件,而科学的独特工作就是建立在这种明确限定行为之上。在数学上,称这种命名行为为定义。

统观数学研究对象的抽象过程,大体上有两种定义的方法:一种方法是基于对应的,另一种方法是基于内涵的。所谓基于对应,是指通过若干具有同质特征的实例,给研究对象起个名中,这样的方法不涉及研究对象的本质特征;所谓基于内涵,是指把握研究对象的本质特征,述说研究对象是什么。数学的发展证明,为了使研究对象完全摆脱对物理背景的依赖,上述两种方法都要归结于公理化体系,最终达到抽象的极致。在公理化体系的意义上,上述两种数学的定义方法殊途同归。

可以从两个方面把握数学的抽象。一方面,我们确信,真正的知识,包括数学最为本质的知识,是来源于感性经验的,是通过直观和抽象得到的,因此抽象不能独立于人的思维而存在;另一方面,我们还应当知道,抽象能力是数学思维的基础,只有具备一定的抽象能力,才可能从感性经验中获得事物的本质特征,从而上升到理性认识。因此,数学教育,特别是基础教育阶段的数学教育,必须把抽象能力的培养作为一个重要目标,无论受教育者未来是否从事与数学有关的工作。

就一个具体数学概念的抽象过程,大体可以分为三个阶段,或者说三个层次。第一阶段是简约阶段:把握事物关于数量或者图形的本质,把繁杂问题简单化,给予清晰表达。第二阶段是符号阶段:去掉具体内容,利用符号和关系术语,表达已经简约化的事物。第三阶段是普适阶段:通过假设和推理,建立法则,模式和模型,在一般意义上描述一类事物的特征或规律。正如阿蒂亚所说:

“其实数学本身是一个层次分明的科学,每一层都是建立在之前的层次上,这就是为什么少受一年的教育可能导致灾难性的后果。这种层次结构与抽象发展是一致的。在这个过程中许多类似的现象被组合到一起,形成下一个层次的基石”。

在以后的文章中,我将结合数学知识的形成过程,具体分析上面述说的问题。必须强调,我的目的不是为了论述数学知识本身,而是为了借助数学知识产生与发展的过程,让大家感悟和理解什么是数学的抽象,感悟和理解数学的一般性是如何得以实现的。帮助大家在现实学习生活工作中,能够透过现象看本质,更好的总结规律,形成方法,工具,生活的更加自由。

数学的抽象:从现实进入数学

抽象的存在。这完全是一个哲学问题:抽象的东西是否存在?如果存在,是如何存在的?这个问题之所以重要,是因为这个问题涉及抽象的本质。

这个问题是由柏拉图引发的。柏拉图认为人的经验是不可靠的,因此,所有基于经验的概念都是不可靠的,数学的概念不应当是经验意义的存在,而应当是永恒的存在。为了更好的解释,柏拉图把这种永恒的存在称为理念,数学的任务就是发现这样的存在。柏拉图的学生亚里士多德在《形而上学》这本书中这样阐述柏拉图的想法:

“柏拉图认为定义是关于非感性事物的,而不是那些感性事物的。正是由于感性事物不断变化,所有不能有一个共同定义。他一方面把非感性的东西称为理念,另一方面把感性的东西作为说明置于理念之外。柏拉图认为,只有理念才得以存在”。

亚里士多德的总结是精辟的。亚里士多德不同意柏拉图的观点,因此说出了那句著名的话语:吾爱吾师,吾更爱真理。亚里士多德认为:抽象的东西是不存在的,抽象的东西只不过是一个“名”而已。在我们生活的现实世界,抽象的数字“2”是不存在的,存在的只有具体的两匹马,两头牛,数字“2”只不过是一个“名”而已。在这个意义上,数学的任务不是发现已经存在的东西,而是构建数学的研究对象。因为这两位哲人的论述,从古希腊时代开始引发了旷日持久的“名实之争”,这个争论吸引了后世许多著名的哲学家,数学家与科学家,延续至今。那么,应当如何理解抽象的存在性呢?

无论如何,抽象的东西是存在的,因为只有基于这种存在,人们才可能对抽象的数学对象进行研究和交流。但这种存在绝对不是现实的存在,而是抽象的存在,是那种存在于人们的大脑之中,并且可以取得人们普遍共识的东西。这个基本看法非常重要,正如爱因斯坦所说:

“可是事实上,‘实在’绝不是直接给予我们的。给予我们的只不过是我们的知觉材料,而其中只有那些容许用无歧义的语言来表述的材料才构成科学的原料。从知觉材料到达‘实在’,到达理智,只有一条途径,那就是有意识的或无意识的理智构造的途径,它完全是自由地和任意地进行地。......

这些事实可以用一个悖论来表述,那就是,我们所知道的实在是唯一地由‘幻想’所组成地。我们对于那些有关实在地想法表示信赖或相信,仅仅根据如下事实:这些概念和关系同我们的感觉具有‘对应’的关系。我们陈述的‘真理’的内容就在这里建立起来。在日常生活和科学中都是这样。如果现在在物理学中,我们的概念与感觉的这种对应越来越接近,就没有权利责备这门科学是用幻想来代替实在的。只有我们能够指明某一特殊理论的概念不可能以适当的方式与我们的经验相关联的时候,上述那种批评才能站住脚”

显然,爱因斯坦所说的“幻想”与我们所说的“抽象的存在”有关。比如,我们看到足球,看到苹果,会形成圆的概念,离开了足球和苹果,在大脑中依然有圆的概念存在。依赖这个存在,我们可以在黑板上画出圆,可以在一起讨论圆,甚至可以给出圆的定义,研究圆的性质,这是一个由感性具体上升到理性具体的思维过程。在这个意义上,我们研究的不是曾经看到的足球,苹果这样具体的圆,也不是在黑板上画出的那个圆,而是在大脑中存在了的抽象的圆。正因为如此,数学的研究才具有一般性。善于画竹的郑板桥说得最为生动:我画的是我心中的竹,而不是我眼中的竹。

虽然与数学一样,哲学研究的对象也是抽象的东西,但二者之间有本质的区别,了解这个区别对深入理解数学的抽象是有意义的,这个区别正如康德所说:

“哲学的知识是出自概念的理性知识,数学知识则是出自概念的,构造的理性知识。构造一个概念就意味着:把与它相应的直观先验地展现出来。所以,哲学知识只是在普遍中考察特殊,而数学知识则在特殊中,甚至个别中考察普遍”。

在上面的论述中,康德关于数学知识特征的表述是非常具有哲理的,我们可以这样把握数学概念产生的思维过程:数学概念的形成是从特殊开始的,数学概念的思维是从直觉开始的。对于数学的抽象而言,构造的理性知识,或者说,具有结构的理性知识是非常重要的,因为数学最终要形成抽象结构,这个抽象结构包括对象以及对象的关系或者运算法则。

后续文章中,我将讨论自然数的概念是如何形成,发展和表达的,关系和运算法则是如何确立的。希望在这些讨论中,能够感悟到数学抽象的本质。

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