解析大题很多考生卡在了第一步！痛失12分！5种方法轻松满分解答

高考数学解析几何共有两问，第一问基本上都是求轨迹方程的问题。这类题角度灵活，几何意义丰富，考生往往找不到解题的突破口，而无法顺利答题，痛失12分！下面将求解解析几何轨迹方程的题型和解题方法归纳如下。

一、待定系数法

待定系数法是最简单的一种求轨迹的方法，这时题目会明确的告诉曲线的轨迹类型，是椭圆、双曲线还是抛物线等，只需要列出相应轨迹的方程，代入题目中的数值即可。解题过程中要注意计算的优化，多巧用定义简化计算。

经典例题：[2018高考天津卷理]

思路分析：利用椭圆的离心率求得a与b的关系，再结合|FB|·|AB|的值建立关于a，b的方程，确定相应数值。

二、直接法

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离和角)的等量关系,或几何条件简单明了易于表达,我们只需把这种关系转化为x,y的等式就能得到曲线的轨迹方程.

直接法求轨迹方程的一般步骤 ：

(1)建立恰当的直角坐标系;

(2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程;

(3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程.

经典例题：[2017石家庄市二模,20]

已知圆C:(x-1)²+y²=r²(r>1),设A为圆C与x轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AM,并使弦AM的中点恰好落在y轴上.求点M的轨迹E的方程。

总结：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为:“建系、设点、列式、化简”.

三、定义法

某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的定义,则可根据定义设方程,求方程系数得到动点的轨迹方程.

定义法求轨迹方程的步骤

(1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义;

(2)设标准方程,求方程中的基本量;

(3)求轨迹方程.

经典例题：

已知圆C₁:(x+3)²+y²=1和圆C₂:(x-3)²+y²=9,动圆M同时与圆C₁及圆C₂相外切,求动圆M圆心的轨迹方程.

解析：如图所示，设动圆M与圆C₁及圆C₂分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|.

因为|MA|=|MB|，所以|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2.

这表明动点M到两定点C₂，C₁的距离之差是常数2.

根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C₂的距离大，到C₁的距离小），这里a=1,c=3,则b²=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x²-y2/8=1 (x≤-1).

总结：利用定义法求轨迹方程时,要看所求轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.

四、几何法

若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线、角平分线的性质、相似全等、隐藏和差为定值关系等),则可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标即可.

经典例题：[2016全国卷Ⅰ,20,12分][理]

设圆x²+y²+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

证明：|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.

思路分析：通过证明|EB|+|ED|，将|EA|+|EB|转化为|EA|+|ED|来证明，再利用椭圆的定义求解出点E的轨迹方程。要注意题目中几何条件对解析式的制约关系。

解析：圆A整理为(x+1)2+y2=16，A坐标(-1,0)，如图，

由BE∥AC,则∠C=∠EBD,

由AC=AD,则∠D=∠C,

∴∠EBD=∠D,则EB=ED,

∴AE+EB=AE+ED=AD=4

所以E的轨迹为一个椭圆，方程为x2/4+y2/3=1，(y≠0).

五、相关点法(代入法)

若动点满足的条件不便用等式表示,但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的,且相关点满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点坐标所满足的方程求得动点的轨迹方程.

相关点法求轨迹方程的步骤

(1)与动点M(x,y)相关的点P(x₀,y₀)在已知曲线上;

(2)寻求关系式x₀=f(x,y),y₀=g(x,y);

(3)将x₀,y₀代入已知曲线方程;

(4)整理关于x,y的关系式得到M的轨迹方程.

经典例题：[2017全国卷Ⅱ,20,12分][理]

思路分析：设出点P，M的坐标，根据题目中的向量关系，得出用点P的坐标表示点M的坐标，代入椭圆方程即可求也点P的轨迹方程。

求轨迹方程问题，思路灵活，方法多变。很多考生卡在了解析几何大题第一步——轨迹方程的求解，痛失12分！以上5种方法轻松满分解答解析几何中的轨迹方程问题。