线段最值探索 (下) —— 瓜豆原理

近两年来利用“瓜豆原理”解最值问题比较火，笔者曾在暑假特辑中，连续写了3讲，有关直线型，双曲线型的瓜豆原理。

暑假特辑1 瓜豆，一线三等角，手拉手，GIF分析，多角度突破期末压轴题

暑假特辑2 动态GIF破解瓜豆原理3种必考题型(上)——直线型

暑假特辑3 动态GIF破解瓜豆原理(下)——双曲线型

今特以两道圆中最值小题，再续“捆绑瓜豆”之原理，当然也不会忽视其他构造之巧法，建议同学们多角度反思此两小题，以达熟能生巧之境界！

 

 

题1：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为______________.

 

下面给出三种解法：

解法一：

如图1-1所示，取AB的中点N，连接CN、MN及半径AD；

这里中点N的构造可以说“一举三得”：

一是与题目已知的中点M构成△ABD的中位线模型，从而得NM=1/2AD=2；

二是联系已知的Rt△ABC，构成基本图形“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，从而得CN=1/2AB=5；

三是将目标线段CM锁定在△CMN中，当然也有可能当C、M、N三点共线时，构不成△CMN，这也正是CM取得最值的特殊位置；

由“三角形的三边关系”知5-2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7，当且仅当C、M、N三点共线时取得等号，即CM的最大值为7，顺带求出CM的最小值为3；

最后给同学们一个建议，就是同学们要养成检验或验证的好习惯，即验证上面求出的最大值及最小值能否取得，只需要画出相应地图形即可，如图1-2及图1-3所示； 

 

解题后反思：

本题中AB中点N的选取与构造让人印象深刻，可以说真的是发人深省！题目中已经有一个中点M，再取一个中点N构造出“双中点”中位线模型以及直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，这些基本图形都是处理中点问题常见的构思，最后锁定一个确定两边长的三角形（当然这个三角形也可能不存在），利用三角形三边关系得出目标线段的取值范围与最值，也是处理最值问题常见的手段！

解法二：

如图1-4所示，延长BC至点E，使CE=BC，即点C为BE的中点，又已知点M为BD的中点，连接DE后再次构造出中位线模型，则目标线段CM=1/2ED；

要求CM的最值，问题就转化为了求ED的最值，很明显点E是一定点，点D是定圆⊙A上一动点D的最值问题，这是学生熟知的模型，连接直线EA与⊙A的两个交点即对应两个最值，其中最大值为EA与半径r之和，最小值为EA与半径r之差；而很明显EA=BA=10，因而ED的最大值为14，最小值为6,；从而所求CM的最大值为7，最小值为3；  

 

解题后反思：

图1-5是为了验证最值确实可以取到，这种解题后验证的好习惯，大家最好养成，它是一种好的解题品质，形成了这种品质，所谓初中阶段“一做就错”的易错题都是浮云，很容易避免，而之所以反复做反复错的本质原因，笔者认为就是学生缺乏这种解题后验证的重要品质！

另外，此法中通过倍长BC至点E的辅助线，将目标线段的最值问题转变为人人熟知的点到圆的最值问题，让人叹为观止！更神奇的是，这还是在笔者讲完此题第一种解法后本班学生的奇思妙想！是啊，学生的创造力与学习力是惊人的，作为老师不能忽视学生的这种能力，有的时候放手让学生去思考、去表达，真的可能会有意想不到之效额！

最后再借助图形的常见变换（平移、翻折、旋转及位似等）看待题目中涉及的两个动点关系，结合轨迹思想，利用“捆绑原理”（即“瓜豆原理”），介绍第三种解法，在笔者看来，这种解法更加普适，也更加自然，有能力接受的同学可认真研究琢磨！

解法三（捆绑整体思想）：

第一步（分析题中从动点M与主动点D之间的变换关系）：

用图形的常见变换（平移、翻折、旋转及位似等）看待题目中涉及的两个动点M与D的关系；

由题知点M为BD的中点，可以用“位似”的眼光看问题，即从动点M可以看成是主动点D以定点B为位似中心，位似比为1/2进行缩小（相当于线段BD放缩成了线段BM）；

第二步（分析题中从动点M的轨迹与主动点D的轨迹之间的变换关系）：

既然从动点M可以看成是主动点D以定点B为位似中心，位似比为1/2进行缩小得来，很自然地就能想到所要寻找的从动点M的轨迹可以看成是由主动点D的轨迹圆⊙A以定点B为位似中心，位似比为1/2进行缩小而来；

这里的想法在笔者看来是极其自然而容易被理解的，其实本质就是“整体思想”，相当于将主动点D的轨迹圆看作一个整体，这个整体在作相应地变换；

第三步（确定从动点M的轨迹）：

既然知道了从动点M的轨迹可以看成是由主动点D的轨迹圆⊙A以定点B为位似中心，位似比为1/2进行缩小而来，由“经过位似变换之后的图形与原图形相似，即位似不改变图形的形状，只改变图形的大小与位置”这个理论支撑易知从动点M的轨迹仍是一个圆；

要想确定一个圆，应先找圆心确定位置，再找半径确地大小，按照这个基本想法先找从动点M的轨迹圆心，有趣的是这个圆心也是经过同样的变换而来，即从动点M的轨迹圆心就是主动点D的轨迹圆⊙A的圆心A以定点B为位似中心，位似比为1/2进行缩小而来，记为点N，即点N就是AB的中点，如图1-6所示；

再确定从动点M的轨迹圆⊙N的半径，这个半径其实也是位似而来，由主动点D的轨迹圆⊙A的半径为4，位似比为1/2知所要找的从动点M的轨迹圆⊙N的半径为2，如图1-7所示，画出目标点M的轨迹圆⊙N，其圆心为AB的中点N且半径为2，是一个定圆；

这样问题又被转化为同学们耳熟能详的模型，即定点C到定⊙N上的最大距离，易知CM的最大值为CN+2=7，顺带求出最小值为CN-2=3，问题得解！

 

 

解题后反思：

该解法有人爱它有人恨，仁者见仁智者见智！在笔者看来，这是一种极其自然的想法，本质就是用图形常见变换的眼光看动点间的关系，所谓“捆绑原理”本质也只是整体思想，即将主动点的轨迹看作一个整体，利用这个整体去确定从动点的轨迹，思路自然大方，而且更加普适，是一种很大范围内适用的通解通法，建议有能力的学生可以再思考琢磨下，多想几遍就通了，通了就简单了！

其实大家可以把第一种“中位线”解法与第三种“瓜豆”解法类比琢磨，越琢磨你越会发现两种解法本质一样，只不过前者的辅助线相对而言还是比较难想的，给人一点琢磨不透的巧合感，而后者则是有迹可循，其从动点M的圆心也正是第一种解法里的中点N，两者不谋而言，绝不是偶然应该是必然，甚至于大家还可以用瓜豆的原理找到这个中点N后，再采取第一种解法解答！总而言之，“瓜豆原理”中的轨迹思想往往可以使抽象问题变得有迹可循，值得你拥有！

下面再来看第二道题目，以此强化这种解题思想方法！

题2：（来源：网络）

如图2，B是⊙O的半径OA延长线上的一点，OA=AB=2，C是半圆O上的一动点，以BC为斜边在BC的上方作等腰Rt△BCD，连接OD，则线段OD的最大长度为_______. 

 

 

 

 

 

下面再提供一种解法，同学们认真体会下面的解法与上面的“捆绑解法”之间的关系，本质真的差不多，或者说利用上面的“捆绑原理”才更容易想到下面的所谓“常规解法”，不然还是比较抽象的；

 

解题后反思：

解法二中“共45度角顶点的双等腰直角三角形”模型的构造还是比较抽象的，不容易想得到，若是借助“捆绑瓜豆”原理的应用，则很容易找到这个点O’’，也就相对容易想到这个模型的构造，两种方法相得益彰，本质共通，建议学生再次类比，加深印象！