1.极坐标系与点的极坐标 如图所示,在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 2.极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则极坐标与直角坐标的互化,公式为: 3.简单曲线的极坐标方程 4.求解与极坐标有关问题的主要方法 (1)直接法:直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用; (2)间接法:转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标. 极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(除以)ρ等技巧. 经典例题: (1)化圆的直角坐标方程x2+y2=r2(r>0)为极坐标方程; (2)化曲线的极坐标方程ρ=8sin θ为直角坐标方程. 思路分析:利用极坐标、直角坐标转换公式可以把直角坐标方程转化为极坐标方程,也可将极坐标方程转化成直角坐标方程. 解析:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2=r2(r>0),得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=r2,即ρ=r. 所以,以极点为圆心、r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r(0≤θ<2π). 总结:确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素:极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可. 经典例题: 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为。 (1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值。 思路分析:(1)设出点M和点P的极坐标,用代入法求出点P的极坐标,再化为直角坐标方程即可;(2)设出B点的极坐标,根据三角形的面积公式列出△AOB面积的关系式,运用三角函数知识求最值即可。 解析:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ)0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1)0),由题设知 总结:曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化.当条件涉及“角度”和“到定点距离”时,引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便. |
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