高中数学

一、二次函数知识点（归纳总结）

1、二次函数解析式的三种形式

① 一般式：

二次函数一般式

② 顶点式：

二次函数顶点式

③ 零点式:

二次函数零点式

2、二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质

二、二次函数的主要题型（归纳总结）

1、求二次函数的解析式

【例题1】已知二次函数 f(x) 与 x 轴的两个交点坐标为 (0,0) 和 (-2,0) 且有最小值 -1，

则 f(x) = .

【解析】

设二次函数的解析式为 f(x) = ax(x+2) ,

【答案】　f(x) = x^2 + 2x .

【例题2】已知二次函数 f(x) 的图象经过点 (4,3) , 它在 x 轴上截得的线段长为 2 ，

并且对任意 x ∈ R ，都有 f(2-x) = f(2+x) ，求 f(x) 的解析式.

【解析】

∵ f(2-x) = f(2+x) 对任意 x ∈ R 恒成立 ，

∴ f(x) 的对称轴为 x = 2 .

又 ∵ f(x) 的图象被 x 轴截得的线段长为 2 .

∴ f(x) = 0 的两根为 1 和 3 .

设二次函数 f(x) 的解析式为 f(x) = a(x-1)(x-3)(a≠0) ,

又 ∵ f(x) 的图象经过点 (4,3) ,

∴ 3a = 3 , a = 1 ,

∴ f(x) 的解析式为 f(x) = (x-1)(x-3) ,

即 f(x) = x^2 - 4x + 3 .

【归纳总结】　求二次函数解析式的方法

求二次函数解析式的方法

2、二次函数的图象和性质

① 二次函数的单调性

【例题3】已知函数

在区间 [-1,+∞) 上是递减的，则实数 a 的取值范围是 .

【解析】

当 a = 0 时，f(x) = -3x + 1 在[-1,+∞) 上递减 ，满足条件 .

当 a ≠ 0 时，

解得 -3 ≤ a < 0 ,

综上所述，a 的取值范围为 [-3,0] .

② 求二次函数的值域

(1)、二次函数在定轴定区间的取值范围

【例题4】函数 y = x^2 - 2x + 3 在闭区间 [0,2] 上取值范围为 .

【解析】画图像，找出最高点和最低点，即可。

【答案】[2,3] .

(2)、二次函数在定轴动区间的取值范围

【例题5】已知函数 y = x^2 - 2x + 3 在闭区间 [0,m] 上有最大值 3 ，最小值 2，

则 m 的取值范围为 .

【解析】

如下图所示，由图象可知 m 的取值范围是 [1,2] .

【答案】[1,2] .　

【例题6】求函数 y = x^2 - 2x + 3 在闭区间 [0,m] 上的取值范围为 .

【解析】

①、当 0 < m ≤ 1 时，如下图所示

当 0 < m ≤ 1 时

②、当 1 < m ≤ 2 时，如下图所示

当 1 < m ≤ 2 时

③、当 m > 2 时，如下图所示

当 m > 2 时

(3)、二次函数在动轴定区间的取值范围

【例题7】已知二次函数

求函数 f(x) 的值域.

【解析】

①、当对称轴 1/a ≥ 2 时，如图所示

当对称轴 1/a ≥ 2 时

值域为 [-1/a , a-2]

②、当对称轴 1<1/a < 2 时，如图所示

当对称轴 1<1/a < 2 时

③、当对称轴 1/a ≤ 1 时，如图所示

当对称轴 1/a ≤ 1 时

【归纳总结】

都是根据对称轴和开口方向来画草图，在草图上找到最高点和最低点的.

3、二次函数中的恒成立问题

【例题8】已知 a 是实数，函数

在 x ∈[-1,1] 上恒小于零，则实数 a 的取值范围为 .

【解析】　

【答案】(-∞ , 1/2) .

【例题9】若

求实数 t 的取值范围.

【解析】

【答案】[-3/4 , 3/4] .

【归纳总结】

(1)二次函数最值问题的解法：

抓住“三点一轴”数形结合，

三点是指区间两个端点和中点，

一轴指的是对称轴，

结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.

(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

①一般有两个解题思路：

一是分离参数；二是不分离参数.

②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.

这两个思路的依据是：

三、分类讨论思想在求二次函数最值中的应用

【例题10】已知函数

在区间 [-1 , 2] 上有最大值 4 ，求实数 a 的值.

【解题思路】

已知函数 f(x) 的最值，而函数 f(x) 图象由对称轴等确定，需要讨论 a 的符号.

【解析】

(1) 当 a = 0 时，函数 f(x) 在区间 [-1 , 2] 上的值为常数，不符合题意，舍去；

(2) 当 a > 0 时，函数 f(x) 在区间 [-1 , 2] 上是增函数，

最大值为 f(2) = 8a + 1 = 4 ,

解得 a = 3/8 ；

(3) 当 a < 0 时，函数 f(x) 在区间 [-1 , 2] 上是减函数，

最大值为 f(-1) = 1 - a = 4 ,

解得 a = -3 ；

综上所述，a 的值为 3/8 或 -3 .