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高考对函数图象和性质考查多集中在考查求函数的定义域，分段函数值的求值或分段函数中参数的求解及函数图象的识别． 多以选择题、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题位置上，难度一般． 基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～8题的位置，有时难度较大．此部分内容有时也出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性等问题结合命题，难度较大． 高考对导数的考查多以“一小一大”的格局呈现，“一小”即以选择题或填空题考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用，难度中等；“一大”即以压轴题的形式呈现，仍会以导数的应用为主，主要考查导数、含参不等式、方程、探索性等方面的综合应用，难度较大． 1．(必修1 P44复习参考题A组T7改编)已知f(x)＝，且f＝－f(b)对于b≠－1时恒成立，则a的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．－1 B [解析] 因为f(x)＝，由f＝－f(b)得 ＝，化简得(a－1)(b＋1)＝0. 要使上式对于b≠－1恒成立， 则a－1＝0，所以a＝1， 故选B. 2．(选修22 P65复习参考题A组T2(3)改编)曲线f(x)＝exln x在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A．e B. C. D．2e B [解析] f′(x)＝exln x＋ ＝ex(ln x＋)， 所以f′(1)＝e，f(1)＝0， 所以曲线f(x)＝exln x在x＝1处的切线方程为 y＝e(x－1)， 令x＝0，得y＝－e， 令y＝0，得x＝1. 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 S＝×e×1＝，故选B. 3．(必修1 P74习题2.2A组T2(2)(3)(4)改编)设a＝log87，b＝log43，c＝log73，则a，b，c的大小关系为( ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a A [解析] 由a＝log87得8a＝7，即23a＝7，2a＝7，即a＝log27， 由b＝log43得4b＝3，即22b＝3，2b＝3，即b＝log23. 又＝49，＝27.所以7>3，则a>b. 由于1<4<7，所以log43>log73.即b>c，所以a>b>c.选A. 4．(必修1 P75习题2.2A组T12改编)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼逆流游速可以表示为函数v＝alog3，其中v的单位为m/s，Q表示鲑鱼的耗氧量单位数，a为正常数．已知一条鲑鱼速度为 m/s时，其耗氧量为2 700个单位数，则当它的速度为2 m/s时，它的耗氧量是静止时耗氧量的________倍． [解析] 当Q＝2 700时，v＝ m/s. 所以＝alog3，所以a＝. 即v＝log3. 所以当v＝2时，2＝log3，此时Q＝8 100， 当v＝0时，0＝log3，此时Q＝100. 所以速度为2 m/s时的耗氧量是静止时的耗氧量的＝81倍． [答案] 81 5．(选修22 P32习题1.3B组T1(1)、(3)改编)设函数f(x)＝ex＋asin x＋b. (1)当a＝1，x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，求b的范围； (2)若f(x)在x＝0处的切线为x－y－1＝0，求a、b的值．并证明当x∈(0，＋∞)时，f(x)>ln x. [解] (1)由f(x)＝ex＋asin x＋b， 当a＝1时，得f′(x)＝ex＋cos x. 当x∈[0，＋∞)时，ex≥1，cos x∈[－1，1]，且当cos x＝－1时，x＝2kπ＋π，k∈N，此时ex>1. 所以f′(x)＝ex＋cos x>0，即f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min ＝f(0)＝1＋b， 由f(x)≥0恒成立，得1＋b≥0，所以b≥－1. (2)由f(x)＝ex＋asin x＋b得 f′(x)＝ex＋acos x，且f(0)＝1＋b. 由题意得f′(0)＝e0＋a＝1，所以a＝0. 又(0，1＋b)在切线x－y－1＝0上． 所以0－1－b－1＝0.所以b＝－2. 所以f(x)＝ex－2. 先证ex－2>x－1，即ex－x－1>0(x>0)， 令g(x)＝ex－x－1(x>0)， 则g′(x)＝ex－1>0， 所以g(x)在(0，＋∞)是增函数． 所以g(x)>g(0)＝0，即ex－2>x－1.① 再证x－1≥ln x，即x－1－ln x≥0(x>0)， 令φ(x)＝x－1－ln x， 则φ′(x)＝1－＝， φ′(x)＝0时，x＝1，φ′(x)>0时，x>1，φ′(x)<0时，0<x<1. 所以φ(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， 所以φ(x)min＝φ(1)＝0. 即x－1－ln x≥0，所以x－1≥ln x．② 由①②得ex－2>ln x，即f(x)>ln x在(0，＋∞)上成立．
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