中考数学（专题五）

类型一 几何背景下取值范围的确定

1、几何背景下确定最大值和最小值

【例题1】 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，翻折矩形纸片，

使点 A 落在对角线 DB 上的点 F 处，折痕为 DE，打开矩形纸片，并连接 EF.

(1) BD 的长为 5 ；

(2) 求 AE 的长；

(3) 在 BE 上是否存在点 P，使得 PF＋PC 的值最小？

若存在，请你确定点 P 的位置，并求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

例题1图

【解析】

(1) 根据勾股定理解答即可．

(2) 设 AE＝x，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．

(3) 延长 CB 到点 G，使 BG＝BC，连接 FG，交 BE 于点 P，确定点 P 的位置，

连接 PC，再利用相似三角形的判定和性质，最后利用勾股定理解答即可．

解：

(1) 5

(2) 设 AE＝x .

∵ AB＝4，

∴ BE＝4－x.

根据折叠的性质，知 Rt△FDE ≌ Rt△ADE .

∴ FE＝AE＝x，FD＝AD＝BC＝3，∠EFD＝∠A＝90°.

∴ BF＝BD－FD＝5－3＝2.

在 Rt△BEF 中，根据勾股定理，

解得 x = 3/2 .

∴ AE 的长为 3/2 .

(3) 存在．

答图

如答图，延长 CB 到点 G，使 BG＝BC，连接 FG，交 BE 于点 P，则点 P 即为所求．

连接 PC，则有 PC＝PG .

∴ PF＋PC＝GF.

过点 F 作 FH⊥BC，交 BC 于点 H，则有 FH∥DC.

∴ △BFH∽△BDC .

∴ FH = 8/5 , BH = 6/5 ,

∴ GH＝BG＋BH＝3＋6/5 ＝21/5 .

在 Rt△GFH 中，根据勾股定理，

∴ PF＋PC 的最小值为 √505/5 .

2、几何背景下确定取值范围

【例题2】如图 ① 和图 ②，优弧 AB 所在 ⊙O 的半径为 2，AB = 2√3 ,

点 P 为优弧 AB 上一点 (点 P 不与点 A，B 重合)，

将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A′ .

例题2图

(1) 点 O 到弦 AB 的距离是 1 ，当 BP 经过点 O 时，∠ABA′＝ 60° ；

(2) 当 BA′ 与 ⊙O 相切时，如图 ②，求折痕的长；

(3) 若线段 BA′ 与优弧 AB 只有一个公共点 B，

设 ∠ABP＝α ， 确定 α 的取值范围．

【解析】

(1) 利用垂径定理和勾股定理即可求出点 O 到弦 AB 的距离，

利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出 ∠ABA′ ；

(2) 根据切线的性质得到 ∠OBA′＝90°，从而得到 ∠ABA′＝120°，就可求出 ∠ABP，

进而求出 ∠OBP＝30° .

答图

过点 O 作 OG⊥BP，垂足为 G，容易求出 BG 的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．

(3) 根据点 A′ 的位置不同，得到线段 BA′ 与优弧 AB 只有一个公共点 B 时，

α 的取值范围是 0° ＜ α ＜ 30° 或 60° ≤ α ＜ 120° .

解：

(1) 1，60°；

(2) 如答图所示，连接 OB，过点 O 作 OG⊥BP，垂足为 G .

∵ BA′ 与 ⊙O 相切，

∴ OB⊥A′B .

∴ ∠OBA′＝90° .

∵ ∠OBA＝30°，

∴ ∠ABA′＝120°.

∴ ∠A′BP＝∠ABP＝60°.

∴ ∠OBP＝30°.

∴ BG＝OB·cos 30°＝ √3 .

∵ OG⊥BP，

∴ PG＝BG＝√3 .

∴ BP＝2√3 .

∴ 折痕的长为2√3 .

(3)

∵ 点 P 不与点 A 重合，

∴ α ＞ 0° .

由 (1) 可知，得当 α 增大到 30° 时，点 A′ 在弧 AB 上，

∴ 当 0°＜α＜30° 时，点 A′ 在 ⊙O 内，线段 BA′ 与优弧 AB 只有一个公共点 B .

由 (2) 可知，知当 α 增大到 60° 时，BA′ 与⊙O 相切，

即线段 BA′ 与优弧 AB 只有一个公共点 B .

当 α 继续增大时，点 P 逐渐靠近点 B，但点 P 不与点 B 重合，

∴ ∠OBP ＜ 90° .

∵ α＝∠OBA＋∠OBP，∠OBA＝30°，

∴ α ＜ 120°.

∴ 当 60° ≤ α ＜ 120° 时，线段 BA′ 与优弧 AB 只有一个公共点 B .

综上所述，

线段 BA′ 与优弧 AB 只有一个公共点 B 时，

α 的取值范围是 0°＜α＜30° 或 60°≤α＜120° .