几何图形的折叠、平移、旋转的计算是历年中考的命题热点,本节将对此类问题作统一归纳总结 . 类型一:折叠问题 【例题1】如图,把矩形纸片 ABCD 沿 EF 翻折,点 A 恰好落在 BC 边的 A' 处, 若 AB = √3,∠EFA = 60°,则四边形 A'B'EF 的周长是 ( ). A、1 + 3√3 B、3 + 3√3 C、4 + √3 D、5 + √3 【解析】 由折叠性质可知,∠EFA = ∠EFA' = 60°, ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ BC∥AD, ∴ ∠A'EF = ∠EFA = 60°, ∴ △A'EF 为等边三角形, ∴ A'F = EF . 又 ∵ ∠B'A'F = ∠A = 90°, ∴ ∠B'A'E = 30° . ∵ A'B' = AB = √3 , ∴ B'E = 1 , A'E = 2 , ∴ C四边形A'B'EF = A'B' + B'E + A'F + EF = √3 + 1 + 2 + 2 = 5 + √3 . 故选 D . 【注解】 在解答此类问题时,关键是弄清 “折叠” 的特点: 认识到折痕两边的图形是全等的,可以得到相等的线段,相等的角 . 若图形中存在直角三角形,解题往往要结合勾股定理或直角三角形边角关系来解决; 若没有且无法构造直角三角形,则往往通过角的关系或边的等量关系来求线段长或角度 . 【拓展提高】 1、如图,将 △ABC 折叠,使点 A 与 BC 边中点 D 重合,折痕为 NM . 若 AB = 9 , BC = 6 , 则 △DNB 的周长为 ( A ) A、12 B、13 C、14 D、15 2、对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示,点 O 为对角线的交点,过点 O 折叠菱形, 使 B , B' 两点重合,MN 是折痕 . 若 B'M = 1 , 则 CN 的长为 ( D ) A、7 B、6 C、5 D、4 3、如图,在矩形 ABCD 中,AB = 3 , BC = 2 , H 是 AB 的中点,将 △CBH 沿 CH 折叠, 使点 B 落在矩形内点 P 处,连接 AP,则 tan∠HAP = --------4/3------. 类型二:平移问题 【例题2】如图,把 △ABC 沿着 BC 方向平移到 △DEF 的位置,它们重叠部分的面积是 △ABC 面积的一半,若 BC = √3,则 △ABC 移动的距离是 ( ) . A、√3/2 B、√3/3 C、 √6/2 D、√3 - √6/2 【解析】 移动的距离可以视为 BE 或 CF 的长度, 根据题意可知,△ABC 与阴影部分为相似三角形,且面积比为 2 : 1 , 所以 EC : BC = 1 : √2 , 即可求出 EC = √6/2 , BE = BC - EC = √3 - √6/2 . 故选 D . 【拓展提高】 1、如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(2,1), 点 B(3,-1), 平移线段 AB, 使点 A 落在点 A1(-2 , 2)处,则点 B 的对应点 B1 的坐标为 ( C ) A、(-1,-1) B、(1 , 0) C、(-1 , 0) D、(3 , 0) 2、如图,将 △ABE 向右平移 2 cm 得到 △DCF , 如果 △ABE 的周长是 16 cm , 那么四边形 ABFD 的周长是 ( C ) A、16 cm B、18 cm C、20 cm D、21 cm 3、如图,在平行四边形 ABCD 中,AD = 7 , AB = 2√3 , ∠B = 60° . 点 E 是边 BC 上任意一点,沿 AE 剪开,将 △ABE 沿 BC 方向平移到 △DCF 的位置, 得到四边形 AEFD,则四边形 AEFD 周长的最小值为 -----20--------. 类型三:旋转问题 【例题3】如图,在 △ABC 中,∠ACB = 90°,∠ABC = 30°,AB = 2, 将 △ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60° 得 △A'B'C,则点 B 转过的路径长为( ). A、π/3 B、√3/3 π C、2π/3 D、π 【解析】 ∵ ∠ACB = 90°, ∴ △ABC 为直角三角形, ∵ ∠B = 30°,AB = 2, ∴ BC = √3 . ∵ 旋转角为 60°,即 ∠ACA' = 60°,∠BCB' = 60°, ∴ 点 B 转过的路径长是以 C 为圆心,以 BC 或 CB' 的长为半径的弧 BB' 长, 即 60π × √3 × 1/180 = √3/3 π . 故选 B . 【注解】 旋转的相关计算,关键是要掌握旋转的三大要素即旋转中心、旋转方向和旋转角度 . 在求解相关问题时,可以从以下几个方面进行考虑: (1)求角度问题,先找旋转角,注意各对应点与旋转中心连线的夹角就是旋转角,度数相同; (2)线段长的计算,借助旋转角将所求线段等量代换到已知图形中,结合等腰三角形,勾股定理等求解; (3)求路径长,其实质是求弧长,需找旋转角,即弧所在扇形的圆心角 . 【拓展提高】 1、将含有 30° 角的直角三角板 OAB 如图放置在平面直角坐标系中,OB 在 x 轴上, 若 OA = 2,将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75°,则点 A 的对应点 A' 的坐标为 ( C ) A、(√3,-1) B、(1 , -√3) C、(√2 , -√2) D、(-√2 , √2) 2、如图,Rt△OCB 的斜边在 y 轴上,OC = √3 , 含 30° 角的顶点与原点重合, 直角顶点 C 在第二象限,将 Rt△OCB 绕原点顺时针旋转 120° 后得到 △OC'B', 则 B 点的对应点 B' 的坐标是 ( A ) A、(√3,-1) B、(1 , -√3) C、(2 , 0) D、(√3,0) 3、如图,已知 △ABC 是等腰三角形,AB = AC , ∠BAC = 45°,点 D 在 AC 边上, 将 △ABD 绕点 A 逆时针旋转 45°,得到 △ACD',且点 D' , D , B 三点在同一直线上, 则 ∠ABD 的度数是 ---------22.5°--------. |
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