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一、选择题 1.(2017·贵阳高三监测考试)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3+a9=16，则 S11=( ) A.88 B.48 C.96 D.176 答案 A 解析 依题意，得 S11= 11(a1+a11) 2 = 11(a3+a9) 2 = 11×16 2 =88， 故选 A。 2.(2017·洛阳第一次统考)等差数列{an}为递增数列，若 a 2 1+a 2 10= 101，a5+a6=11，则数列{an}的公差 d 等于( ) A.1 B.2 C.9 D.10 答案 A 解析 依题意得(a1+a10) 2-2a1a10=(a5+a6) 2-2a1a10=121- 2a1a10=101，∴a1a10=10，又 a1+a10=a5+a6=11，a1 a10=10，d= a10-a1 10-1 =1，故选 A。 3.(2017·湖北七市联考)在各项都为正数的数列{an}中，首项 a1 =2，且点(a 2 n，a 2 n-1)(n≥2)在直线 x-9y=0 上，则数列{an}的前 n 项 和 Sn 等于( ) A.3 n-1 B. 1-(-3) n 2 C. 1+3 n 2 D. 3n 2+n 2 答案 A 解析 由点(a 2 n，a 2 n-1)在直线 x-9y=0 上，得 a 2 n-9a 2 n-1=0，即 2 (an+3an-1)(an-3an-1)=0，又数列{an}各项均为正数，且 a1=2，∴an +3an-1>0，∴an-3an-1=0，即 an an-1 =3(n≥2)，∴数列{an}是首项 a1 =2，公比 q=3 的等比数列，其前 n 项和 Sn= a1(1-q n ) 1-q = 2×(3 n-1) 3-1 = 3 n-1，故选 A。 4.(2017·安徽淮北二模)5 个数依次组成等比数列，且公比为-2， 则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.- 21 20 B.-2 C.- 21 10 D.- 21 5 答案 C 解析 由题意可设这 5 个数分别为 a，-2a,4a，-8a,16a，故奇 数项和与偶数项和的比值为 a+4a+16a -2a-8a =- 21 10。故选 C。 5.已知等比数列{an}中，a2·a8=4a5，等差数列{bn}中，b4+b6 =a5，则数列{bn}的前 9 项和 S9等于( ) A.9 B.18 C.36 D.72 答案 B 解析 ∵a2·a8=4a5，即 a 2 5=4a5，∴a5=4，∴a5=b4+b6=2b5=4， ∴b5=2，∴S9=9b5=18，故选 B。 6.(2017·广东潮州二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》 里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十 五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里， 日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢( ) 3 A.8 日 B.9 日 C.12 日 D.16 日 答案 B 解析 设 n 日相逢，则依题意得 103n+ n(n-1) 2 ×13+97n+ n(n-1) 2 × - 1 2 =1 125×2，整理得 n 2+31n-360=0，解得 n=9(负 值舍去)，故选 B。 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2an-4(n∈N* )，则 an =( ) A.2 n+1 B.2 n C.2 n-1 D.2 n-2 答案 A 解析 依题意，an+1=Sn+1-Sn=2an+1-4-(2an-4)，则 an+1= 2an，令 n=1，则 S1=2a1-4，即 a1=4，∴数列{an}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，∴an=4×2 n-1=2 n+1，故选 A。 8.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，a2-8a5=0，则S8 S4 的值为 ( ) A. 1 2 B. 17 16 C.2 D.17 答案 B 解析 设{an}的公比为 q，依题意得a5 a2 = 1 8=q 3，因此 q= 1 2。注意 到 a5+a6+a7+a8=q 4 (a1+a2+a3+a4)，即有 S8-S4=q 4S4，因此 S8 =(q 4+1)S4， S8 S4 =q 4+1= 17 16，故选 B。 9.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若公差 d>0，(S8-S5)(S9-S5)<0， 4 则( ) A.|a7|>|a8| B.|a7|<|a8| C.|a7|=|a8| D.|a7|=0 答案 B 解析 根据题意，等差数列{an}中，有(S8-S5)(S9-S5)<0，即(a6 +a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0，又由{an}为等差数列，则有(a6+a7+a8) =3a7，(a6+a7+a8+a9)=2(a7+a8)，(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0 ⇔a7×(a7+a8)<0，a7与(a7+a8)异号，又由公差 d>0，必有 a7<0，a8>0， 且|a7|<|a8|，故选 B。 10.(2017·大连模拟)已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a3，a5， a15成等比数列，若 a1=3，Sn为数列 an的前 n 项和，则 an·Sn的最小 值为( ) A.0 B.-3 C.-20 D.9 答案 B 解析 ∵等差数列{an}的公差 d≠0，且 a3，a5，a15 成等比数列， a1=3，∴(3+4d) 2=(3+2d)(3+14d)，解得 d=-2 或 d=0(舍)。当 d =-2 时，an=5-2n，Sn=4n-n 2，∴an·Sn=(5-2n)·(4n-n 2 )=2n 3- 13n 2+20n。设 f(x)=2x 3-13x 2+20x(x>0)，则 f′(x)=6x 2-26x+20 =(6x-20)(x-1)。则当 x∈ 1， 10 3 ，f(x)单调递减，当 x∈ 10 3 ，+∞ ， f(x)单调递增。又当 x=3 时，f(3)=-3。x=4 时，f(4)=0，又 n∈N*， ∴an·Sn 的最小值为-3。故选 B。 11.(2017·福州综合质量检测)已知数列{an}中，a1=1，且对任意 5 的 m，n∈N*，都有 am+n=am+an+mn，则 i=1 2 0171 ai =( ) A. 2 017 2 018 B. 2 016 2 017 C. 2 018 1 009 D. 2 017 1 009 答案 D 解析 令 m=1，则 an+1=a1+an+n，又 a1=1，所以 an+1=an +n+1，即 an+1-an=n+1，所以 a2-a1=2，a3-a2=3，…，an- an-1=n(n≥2)，把以上 n-1 个式子相加，得 an-a1=2+3+…+n， 所以 an=1+2+3+…+n= n(n+1) 2 (n≥2)，当 n=1 时，上式也成立， 所以 an= n(n+1) 2 ，所以 1 an = 2 n(n+1) =2 1 n- 1 n+1 ，所以 i=1 2 017 1 ai = 2 1- 1 2 + 1 2- 1 3 +…+ 1 2 017- 1 2 018 =2 1- 1 2 018 = 2 017 1 009，故选D。 12.记 Sn为正项等比数列{an}的前 n 项和，若S12-S6 S6 -7· S6-S3 S3 - 8=0，且正整数 m，n 满足 a1ama2n=2a 3 5，则1 m + 8 n的最小值是( ) A. 15 7 B. 9 5 C. 5 3 D. 7 5 答案 C 解析 ∵{an}是等比数列，设{an}的公比为 q，∴ S12-S6 S6 =q 6， S6-S3 S3 =q 3，∴q 6-7q 3-8=0，解得 q=2(负值舍去)。又 a1ama2n=2a 3 5，∴a 3 1·2m 6 +2n-2=2(a12 4 ) 3=a 3 12 13，∴m+2n=15，∴ 1 m + 8 n= 1 15 1 m + 8 n (m+2n)= 17+ 2n m + 8m n 15 ≥ 17+2 2n m × 8m n 15 = 5 3，当且仅当2n m= 8m n ，即 m=3，n =6 时等号成立，∴ 1 m + 8 n的最小值是5 3，故选 C。 二、填空题 13.(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和 为 Sn。已知 S3= 7 4，S6= 63 4 ，则 a8=________。 答案 32 解析 设等比数列{an}的公比为 q，则由 S6≠2S3 得 q≠1，则 S3 = a1(1-q 3 ) 1-q = 7 4，S6= a1(1-q 6 ) 1-q = 63 4 ，解得 q=2，a1= 1 4，则 a8=a1q 7 = 1 4×2 7=32。 14.(2017·合肥第二次质检)等比数列{an}满足 an>0，且 a2a8=4， 则 log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=________。 答案 9 解析 易知 log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1·a2·…·a9)=log2a 9 5 =9log2a5，∵a2·a8=a 2 5=4，且 an>0，∴a5=2，∴原式=9log22=9。 15.(2017·全国卷Ⅱ )等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4 =10，则 k=1 n 1 Sk =________。 答案 2n n+1 解 析 由 题 意 ， 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 则 7 a3=a1+2d=3， S4=4a1+ 4×3 2 d=10， 解 得 a1=1， d=1， 故 Sn = n + n(n-1) 2 = n(n+1) 2 。 k=1 n 1 Sk = k=1 n 2 k(k+1) = 2 k=1 n 1 k- 1 k+1 = 2 1 1- 1 2+ 1 2- 1 3+…+ 1 n- 1 n+1 =2 1- 1 n+1 = 2n n+1 。 16.(2017·湖北七市联考)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=n+1，则 {an}前 40 项的和为________。 答案 440 解析 由 an+1+(-1)nan=n+1，可依次列出 n 取不同值时数列 项之间的关系，当 n=1 时，a2-a1=2，①当 n=2 时，a3+a2=3， ②当 n=3 时，a4-a3=4，③当 n=4 时，a5+a4=5，④由②-①得 a3+a1=1，由③+②得 a4+a2=7，当 n=5 时，a6-a5=6，⑤当 n =6 时，a7+a6=7，⑥当 n=7 时，a8-a7=8，⑦当 n=8 时，a9+a8 =9，⑧由⑥-⑤得 a7+a5=1，由⑦+⑥得 a8+a6=15，类似可得 a11 +a9=1，…，a39+a37=1，a12+a10=23，…，即{a4k+2+a4k+4}(k∈ N)构成一个首项为 7，公差为 8 的等差数列，∴S40=(a1+a3+a5+a7 +…+a37+a39)+(a2+a4+a6+a8+…+a38+a40)=1×10+7×10+ 10×(10-1) 2 ×8=440。 |
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