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亚里士多德 数学要成为科学，第二个不可逾越地难关就是如何理解证明。柏拉图认为证明是一个完整地过程，也就是说，既要有开始也要有结论，关于这一点，亚里士多德赞同柏拉图的意见，并且详细地论述了这个理由。关于开始，亚里士多德在《工具论·后分析篇》中说： “我们认为，并不是所有知识都是可以证明的。直接前提的知识就不是通过证明获得的，这很显然并且是必然的。因为如果必须知道证明由已出发的在先的前提，如果直接前提是系列后退的终点，那么直接前提必然是不可证明的。以上就是我们对这个问题的看法。我们不仅主张知识是可能的，而且认为还存在着一种知识的本原，我们借助它去认识终极真理” 亚里士多德的意思非常明确，为了进行证明，必须先建立一个前提，而这个前提本身是不需要证明的，甚至是不可证明的。进一步，亚里士多德又把不需要证明的前提分为两类：一类是获得任何知识都必须把握的前提，称之为公理，比如“等量加等量还是等量”；一类是获得某些专门领域的知识必须把握的前提，称之为公设，比如“两点决定一条直线”。亚里士多德提出的这个原则普遍被人们接受，两千多年来，无论是包括数学在内的自然科学问题，还是包括法律在内的社会科学问题，人们都是遵循这个原则来论证问题的。比如，《美国独立宣言》为了阐明美国人民摆脱大不列颠王国统治的理由，在开始就直言到： “我们认为下述真理是不言而喻的：人人生而平等，造物主赋予他们若干不可让与的权利，其中包括生存权，自由权和追求幸福的权利。为了保障这些权利，人们才在他们中间建立政府，而政府的正当权利，则是经被统治者授予的。任何形式的政府一旦对这些目标的实现起破坏作用时，人民便有权予以更换或废除，以建立一个新的政府” 《美国独立宣言》的论证形式是符合亚里士多德所提倡的原则的，即从一个不言而喻的命题出发来论证问题，最后得到结论。 工具论 除了证明的前提之外，亚里士多德还规定了证明的形式，其中最重要的就是关于三段论的学说。亚里士多德的这个学说在中世纪的欧洲被奉为是至高无上的，即使在今天的逻辑学中也仍然保持着重要的地位。亚里士多德认为三段论是比证明更为广泛的论证形式，他在《工具论·前分析篇》中说： “我们之所以要在讨论证明前先讨论三段论，是因为三段论更加普遍些。证明是一种三段论，但并非一切三段论都是证明” 亚里士多德对证明的认识显然是不全面的，就论证形式而言，证明与三段论有共同的部分，但三段论不能包含所有的证明形式，比如，三段论不能包含“a大于b，b大于c，则a大于c”这样的递推关系。即便如此，亚里士多德规范证明的形式是非常必要的：在证明问题时，只有规定了证明的前提又规定了论证的形式，我们才可能对于所讨论问题的结论达成共识，而这一点正是科学所需要的。 一个三段论就是一个包括大前提，小前提和结论三个部分的论证形式。三段论有不同的种类，亚里士多德称之为格，最初亚里士多德定义了三种格，后来经院学者又增加了第四格。但现在已经证明，后三种格可以归结为第一格。第一格又分为四种型，我们把这四种形式举例如下： 全称肯定型 凡人都有死，苏格拉底是人，所有苏格拉底有死。 全称否定型 没有一条鱼是有理性的，所有的鲨鱼都是鱼，所以没有一条鲨鱼是有理性的。 特称肯定型 凡人都有理性，有些动物是人，所以有些动物是有理性的 特称否定型 没有一个希腊人是黑色的，有些人是希腊人，所以有些人不是黑色的。 三段论 从上面的阐述中我们看到，虽然亚里士多德讨论的并不是数学问题，但他已经搭建了数学证明的形式上的框架，这个框架可以保证推导出的结论与前提一样可靠，也就是说，如果前提为真，那么结论也为真。比如，我们希望验证命题B：“苏格拉底有死”为真，那么先给出一个命题A：“凡人都有死”作为前提，三段论在前提命题A与结论命题B之间构建了一个桥梁，这个桥梁就是“苏格拉底是人”，这个桥梁构建了命题A和命题B之间的包含关系，因而保证了结论与前提之间的一致性，即保证了结论与前提是一样可靠的。回忆亚里士多德关于公理和公设的论述，如果我们的前提命题是公理或者公理的等价命题，那么通过三段论得到的结论就将如公理那样可靠，这样的论证就必然是无懈可击的。这样，亚里士多德已经为数学家的推理准备了演绎逻辑的方法。 另一方面，不是通过这种演绎方法得到的结论就值得怀疑了。比如，人们在埃及测量得到三角形的内角和为180度，在希腊也测量得到三角形的内角和为180度，那么，是否就可以得到命题：“三角形内角和为180度”了呢？这是不行的，这只是归纳的方法。虽然归纳的方法可能是发现新的知识，可能发现新的规律，但是要验证这个知识是否具有一般性还是需要通过演绎的方法。 除了三段论，亚里士多德还讨论了两个思维的基本原则，这些写在他的《形而上学》一书之中： “但我们明确主张，事物不可能同时存在又不存在，因此我们证明了它是所有本原中最为确实的。 在对立的陈述之间不允许有任何居间者，而对于一事物必须要么肯定要么否定其某一方面” 在那本书中，亚里士多德对上述两个原则进行了很长篇幅的阐述，后来人们把亚里士多德阐述的这两个原则总结成为形式逻辑中的两个基本规律，前者被称为矛盾律：一个事物不能同时是A和非A；后者被称为排中律：一个事物不是A就是非A。可以看到，这两个原则即便是在今天，对于我们论证问题也是至关重要的。当然，对于排中律，亚里士多德是有所保留的，因为他在上面那段文字后又接着谈到： “如果不是为了理论而理论的话，在所有的对立物之间，应当存在居间者，......” 我们将在后续讨论公理体系的完备性，在那里，正是排中律使数学的证明处于非常尴尬的境地。事实上，亚里士多德并没有把排中律看得那么绝对，他认为对于有些类型的问题是可以商榷的，我们将在《数学中的演绎推理》中仔细讨论这些问题。 这样，古希腊的哲学家们已经为几何学的创立奠定了丰厚的思想基础，因而也为数学成为科学奠定了思想的基石。但是，数学能够成为科学的最为核心的工作还是需要数学家来完成的。 |
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