《亚里士多德的三段论》一些未解决的问题

亚里士多德的非模态三段论系统是一个四常项的理论，这四个常项可以由“所有——是”、“没有——是”、“有些——是”与“有些——不是”来表示：这些常项是二元的函子。这两个元由变项表示，并且仅仅以具体的普遍词项为值。排除了用单一的、空的以及否定词项等作为它的值，各常项与其元在一起形成四类叫做前提的命题，即“所有A是B”，“没有A是B”，“有些A是B”和“有些A不是B”。这系统可以称为“形式逻辑”，因为具体词项，如“人”或“动物”，并不属于它而仅系它的应用。这系统不是思维形式的理论，它也不依赖于心理学；正如斯多亚派所正确地观察到的，它与“大于”关系的数学理论是相似的。

这四类前提借助于两个函子“如果——则”与“并且”形成这系统的断定命题。这些函子属于命题逻辑，命题逻辑是这系统的辅助理论。在某些证明中，我们会遇见第三个命题函子，即命题的否定“这不是真的……”，简化地用“非”表示。这四个亚里士多德式的常项：“所有——是”“没有——是”、“有些——是”和“有些——不是”，与三个命题常项：“如果——则”、“并且”与“非”加在一起，就是三段论系统仅有的元素。

这个系统的所有断定命题，对于在其中出现的变项的所有的值而言，都是真的。没有一个亚里士多德式三段论是作为带“所以”一词的推论规则而构成的，如像传统逻辑那样。传统逻辑是一个不同于亚里士多德三段论系统的系统，而不应当与真正的亚里士多德逻辑搅混在一起。亚里士多德划分三段论为三个格，但是他知道并承认第四格的所有三段论的式。三段论划分为格没有什么逻辑上的重要性，而仅有一个实践的目的：我们要确信没有漏掉一个正确的三段论的式。

这系统是公理化的。亚里士多德取第一格的头两个式，Barbara与Celarent，作为公理。在这两条公理之外，我们还应当加上两条换位定律，因为它们都不能用三段论加以证明。如果我们希望这个系统中有同一律：“所有A是A”，我们就应假定它们是公理。我们能够得到的最简单的基础，是取常项“所有——是”和“有些——是”为原始词项，凭着它们用命题否定来定义其它两个常项，并设定四条断定命题为公理，即两条同一律和Barbara式与Datisi式，或者Barbara式与Dimaris式。把这个系统建立在仅仅一条公理之上是不可能的，如果“原则”指的是与“公理”相同的东西的话，那么，寻求亚里士多德的三段论的原则就是一种徒劳的企图。“所谓全和零原则”，在这个意义上，也不能是三段论的原则，并且亚里士多德本人也没有那样陈述它。

亚里士多德将所谓不完全的三段论化归为完全的，即化归为公理。这里，化归指的是从公理出发对一个定理的证明或推导。他使用三种证明：换位法、归谬法和显示法。逻辑的分析表明：在头两类的所有证明中，包含着命题逻辑最基础部分的断定命题，即演绎理论。亚里士多德直观地使用它们，但在他之后不久，命题逻辑的第一个系统的创始者——斯多亚派明白地陈述了它们之中的某一些断定命题，——复杂的易位律和所谓“综合定理”（后者曾被人归功于亚里士多德的发现，但它并不见于他现存的逻辑著作中）。一个新的逻辑因素好像蕴藏在显示法证明之中；这些证明可借存在量词之助而得到解释。存在量词系统地引入三段论理论，将完全改变这个系统：原始词项“有些——是”能由词项“所有——是”来定义，而许多为亚里士多德所不知道的新的断定命题将会出现。由于亚里士多德本人在其三段论理论的最后提要中抛弃了显示法证明，这就没有必要把它引入他的系统了。

另一个新的逻辑因素包含在亚里士多德关于不能成立的三段论形式的研究中，那就是排斥。亚里士多德通过具体词项的例证来排斥不正确的形式。这个处理在逻辑上是对的，但它把与之没有密切联系的词项和命题引进了这个系统。然而还有这样的情况，他运用另一种逻辑处理：把一个不正确的形式化为另一个已经排斥了的形式。在这个提示的基础上，可以陈述一条与断定的分离规则相应的排斥规则。这可看作是逻辑研究的新领域的开端和应当解决的新问题。

亚里士多德并没有系统地研究所谓复合三段论（polysyllogisms），即带有三个以上词项和两个以上前提的三段论。如我们已经看到的，加伦研究了包含四个词项和三个前提的复合三段论。把第四格的作者看作是加伦是一个古老的逻辑错误。加伦把四个词项的复合三段论划分为四个格，而不是划分我们熟知其中世纪名称的那些简单的三段论。他的研究完全被遗忘了。但复合三段论也属于三段论的理论并且应当加以考虑，在这里是另外一个应当加以系统地研究的问题。对这个问题的重要的贡献是C.A.麦雷狄士先生提出的那一组公式，这在前面第14节的末尾处已经提到过了。

还剩下一个未曾为亚里士多德看到，但却是他的整个系统的最重要的问题：这就是判定问题。有意义的三段论的表达式的数目是无穷的；它们的绝大多数确实是假的，但它们之中有一些可以是真的，如n个词项的有效的复合三段论（无论n是任何正整数）。我们能够相信，我们的公理与推论规则一起，对于证明所有真的三段论表达式是足够的吗？并且，同样地，我们能够相信在第20节之末构造的排斥规则，对于排斥所有假的表达式是足够的吗（即使我们从公理上排斥了它们之中有限的数量）？我于1938年在华沙大学我的数理逻辑讨论班上提出了这些问题。一个我从前的学生，现任佛罗克拉夫（wroclaw）大学逻辑与方法论教授Ｊ.斯卢派斯基找到了这两个问题的解答。他对第一个问题的回答是肯定的，而对于第二个问题的回答是否定的。据斯卢派斯基说，要用第20节所引用的规则（c）和（d）去排斥所有假的三段论的表达式，是不可能的，即令这些表达式中的一个有限数目已经公理地排斥了。无论怎样多的假表达式我们可以公理地排斥，除了公理地已排斥者外，总还会有不能加以排斥的其它的假表达式。而要建立一个无穷的公理集合是不可能的：一条新的排斥规则必须加进这个系统以补足由四条公理所作出的亚里士多德逻辑的不充分的刻画。这条规则是斯卢派斯基发现的。

斯卢派斯基专为亚里士多德的三段论所发现的排斥规则，可以陈述如下：令α与B表示亚里士多德逻辑的否定前提，亦即“没有A是B”或“有些A不是B”这种类型的前提，并令γ表示简单前提（任何类型的），或者后件为简单前提、前件为简单前提的合取的一个蕴涵式：如果表达式“如果α，则γ”与“如果B，则γ”都已被排斥，则表达式“如果α并且B，则γ”也必被排斥。 ^[64] 这条规则与排斥规则（c）和（d），以及用公理方法排斥了的表达式“如果所有C是B并且所有A是B，则有些A是C”一起，可以使我们排斥这个系统中的任何假的表达式。此外，如我们已提出的那样，假定三段论的四条断定的公理，E和O前提的定义，断定的表达式的推论规则，以及演绎理论作为辅助系统。用这种办法，判定问题获得了解决：对于这个系统作出的任何有意义的表达式，我们可以决定它是否为真并可断定，或者它是否为假并须排斥。

关于亚里士多德三段论理论的主要研究，由于这问题的解决而宣告终结。还剩下的唯一的一个问题，或者甚至是一个等待解释的神秘之点就是：为了排斥这个系统的所有假的表达式，那么用公理方法排斥唯一一个假的表达式，亦即第二格的全称肯定前提与特称肯定结论的三段论形式，就是必要与充分的。没有适合于这个目的的其它表达式。这个奇怪的逻辑事实的解释也许可以导致逻辑领域内的若干新的发现。（卢卡西维茨）

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[1] 《前分析篇》，i.1，24^b22，“我称之完全的三段论的，是那些除了已经陈述的东西之外不需要其它什么来使必然地得出的东西成为显然的；如果还需要一个或更多的命题，这些命题的确是已设定的词项的必然条件，但未曾明显地作为前提陈述出来，我就称之为不完全的三段论。”

[2] 亚历山大在注释上面这一段时，使用了ἀναπόδεικτος（不能证明的）这个词。24.2“那些不完全的三段论需要有一个附加的命题，它们仅仅需要一次变换，以便它们获得一个完全的和不能证明的第一格三段论的形式；那些需要附加几个命题的三段论，化为完全的三段论要利用两次变换”。又参看第44页，注①。

[3] 《后分析篇》，i.3，72^b18，“我自己的理论是：并非所有知识都是证明的，相反，直接的前提是不依赖于证明的”。

[4] 《后分析篇》，i.23，84^b19，“这也是明显的，当A属于B时，如果有一个中项，那么就能够加以证明，……如果没有任何中项，证明就不再是可能的了：我们面临的是基本真理”。

[5] 《前分析篇》，i.23，41^b1，“每一个证明与每一个三段论必须借助于上面所说的三个格来构成”。

[6] 所引书第325—327页。

[7] 在包含有第一格的各个式的第四章的结尾处，亚里士多德说（见《前分析篇》，i.4，26^b29），“这也是显然的，这个格中的所有三段论都是完全的”。

[8] 同前，7.29^b1，“把所有三段论化归为第一格的全称三段论也是可能的”。

[9] 《前分析篇》，i.2，25^a20，〔希腊文原文据W.D.罗斯版本校正〕。

[10] 亚历山大84.6，“表达式'不属于有些’与'不属于所有’之间的区别不在于思想，而仅在于字面”。

[11] 卢卡西维茨：《数理逻辑初步》（Elementy Logiki matematycznej），M.普勒斯伯格编（油印本），华沙1929年第172页。“逻辑分析对知识的重要性”，（Znaczenie analizy Logicznej dla poznania）《哲学评论》第xxxvii卷，华沙（1934），第373页。

[12] 《形式逻辑》，第301页。

[13] 《前分析篇》，i.1,24^b28，“当其不能找出那一〔主项〕（τοῦὑ ποκειμένοΥ，——被W.D.罗斯省去）不能被另一词项断定的任何情况时，我们也可以说，一个词项表述另一个的全部；表述无一的，也必须作同样的了解”。

[14] 《亚里士多德的三段论》，卷ii b，第149页。

[15] 参看卢卡西维茨：“命题演算史”（Ｚur Ｇeschichte des Aussagenkalküls），《认识》杂志第V卷，莱比锡，1935年出版，第111—131页。

[16] 即现今通称的“真值表”。——译者注

[17] 迈尔：《亚里士多德的三段论》,第384页，“但是斯多亚派逻辑实际上是贫乏的、不毛的、形式主义的－语法的不固定与缺乏原则的图画。”同上，注①“实际上，即使普兰特尔与蔡勒对斯多亚派逻辑所作的那些不利的评价也应当保留”。

[18] 第11版，剑桥1911年出版，第25卷第946页（“斯多亚”条）。

[19] 《前分析篇》，ii.4，57^b1。

[20] 《前分析篇》，ii.4，57^b6。

[21] 《前分析篇》，ii.4，57^b3。

[22] 见，A.N.怀特海与B.罗素：《数学原理》卷i，剑桥1910年版，第108页，断定命题^*2.18。

[23] 《亚里士多德的三段论》，卷ii a，第331页：“由于这样会得到一个与矛盾律相对立的组合，所以它乃是荒谬的。”

[24] 见《Ｇ.瓦拉第文集》（Scritti di Ｇ. vailati），莱比锡－佛罗伦萨，CXＶ，《关于特第托的一段书与欧几里得的证明》，第516—527页；参看卢卡西维茨“对于多值命题演算系统的哲学考察”（Ｐhilosophische Bemerkungen zu mehrwertigen systemen des Aussagen-kalküls），《华沙科学与文学会会刊》xxiii卷（1930年），第III类，第67页。

[25] 《前分析篇》，i.5，27^a32。

[26] 见《数学原理》，第104页，断定命题^*2.06。

[27] 见《数学原理》，第119页，断定命题^*3.45。合取式“p并且r ”在《数学原理》中被称为“逻辑积”。

[28] 见本书注。

[29] 《前分析篇》，i.5，27^a37。

[30] 例如，参见迈尔《亚里士多德的三段论》卷ii a，第84页。

[31] 《前分析篇》，ii.14，62^b29，“归谬法的论证，不同于显示法的证明在于它设置它希望反驳的命题，即用还原为公认为虚假的命题的办法来反驳设置的命题；而显示法证明则从它所承认（为真）的论点出发。”

[32] 我用“非”作为命题的否定“这是不真实的……”的缩写。

[33] 见《数学原理》第118页，断定命题^*3.37。

[34] 《前分析篇》，ii.8—10。

[35] 同上，8，59^b3，“因为这是必然的，如果结论已被改变成与它相反的东西并且前提之一成立，则另一个前提应被推翻。因为如果它应当成立，则结论也必定成立了。”参见《论辩篇》viii.14，163^a34，“如果一个结论是不真的，那么必然导致诸前提中的某一个的取消，因为给出所有前提的话，那个结论就必定产生。”

[36] 《前分析篇》，ii.8，59^b28。

[37] 《前分析篇》，i.23，41^a23，“凡是进行归谬论证的人们，用三段论的方法推出虚假的命题，并且，就假设地证明了原来的结论了，当从它的矛盾的假定而得出某些不可能的东西的时候；例如，正方形的对角线是不能与其一边通约的，因为如果假定可以通约则奇数将会等于偶数。一个人用三段论推出奇数将会等于偶数，他就通过假设证明了对角线不能通约，因为通过它的矛盾就会得到一个虚假的命题。”

[38] 《前分析篇》，i.23，41^a37，“所有其它的假设三段论都是一样；因为在每一场合，三段论都导致一个由代换原断定命题而得的命题，而原断定命题是由认可或某些其它假设所得到的。”

[39] 同上44，50^a39，“许多其它论证也是借助于一个假设而导致结论的；这些我们也应当考虑并弄清楚，我们将在以后来描述这些假设的论证的差别和形成的各种方式。”〔W.D.罗斯主编的《亚里士多德全集》英译本（1928年牛津版）在此处加上了一个脚注：“这个诺言在亚里士多德的现存著作中未曾兑现。”——译者注〕

[40] 亚历山大389.32，他在注释这一段的时候说：“他说有许多其它的结论也是借助于一个假设而导致结论的。因为打算在以后更加详尽地来分析这些论证，所以他把它们搁下了。但是，他并未留下任何与此有关的著作。”

[41] 斯多亚派学者用序数词指示命题变项。

[42] 塞克斯都·恩披里可（穆契曼编）《反数学家》，viii.235—236：“这个规则〔即指埃奈西德谟斯（怀疑论者，约与西塞罗同时。——译者注）作为问题提出的〕化归为借助于第二个和第三个不可证明的式的论证，正如可以从对我们具有更大明晰性的分析中学会的一样，如果我们把关于式（τρόποΥ）的理论表述如下：'如果第一并且第二，则第三；令第三被否定，但第一被采用；这样就得到第二的否定’。因为那时我们有一个蕴涵式（σΥνημμένον＝implication），其前件（ἡγούμενοΥ＝antecedent）是合取式（σΥμπεπ λεγμένον＝conjunction），即'第一并且第二’，其后件（λῆγον＝consequent）是'第三’，而我们有一个矛盾的后件，即'非第三’，根据第二个不可证明的式，我们也得到一个矛盾的前件，即'非（第一并且第二）’。然而这一切都潜在地包含在规则之中。因为在我们这里各前提将结合起来；如果我们说出来，它就全被显露出来。当其与余下的命题'第一’*（τοῦ'τòπρῶτον’）相联结时，根据第三个不可证明的式，我们将有综合的结论所以，'非第二’。”〔*此处古抄本作第一个（τοῦπρώτον）（命题）；科恰尔斯基氏作：论式的（τοῦτροποΥ）（命题）；手抄本作：（命题'第一’'τοῦ'τòπρῶτον’）。又，τρὀπος＝由变项表达的式。〕

[43] 还有另外两段关于显示法的篇章；《前分析篇》，30^a6—14及30^b31—40（这个提示我得之于W.D.罗斯爵士），但都是有关模态三段论的图式的。

[44] 《前分析篇》，i.2，25^a15〔据W.D.罗斯校正〕。

[45] 亚历山大32.12，“如果B属于有些A，……令它也属于C。令它（C）是有些A，这些A也是B所属于的。令C整个地包含在B之中且成为B的一部分，而B表述所有的C。因为说一个东西被包含在另一个东西的全部之中，与说另一个东西表述它的全体，这是完全一样的。然而C是一部分A，而B同时整个地被包含于A之中。如果它整个地被包含，那么A表述所有C。然而C是B的一部分，因此，A将表述某些B。”

[46] 亚历山大32.32，“但是更好和更适宜的有关的显示法将表明，在这里证明的获得是通过感性知觉而获得的，而不是靠所说的式，也不是靠三段论。显示法的式得之于感觉方面，而不是得之于三段论的方式。某些人从感觉方面所取的C构成A的一部分。如果B表述可感觉的和单一的C，构成A的一部分，并且C作为B的一部分也包含于其中，那么C就成为两者的一部分，并且包含于两者之中。”

[47] 《亚里士多德的三段论》，卷ii a，第20页“所以论证不取决于一个三段论，而取决于明晰性的提示。”

[48] 见《数学原理》第116页，断定命题^*3.22。

[49] 《前分析篇》，i.5，28^a22。

[50] 亚历山大99.28，“如果我们采用'Ｐ属于所有S’与'R属于所有S’或者我们又说它们属于S的某一部分，即N，这之间有什么区别呢？要知道同样的东西关系到我们所取的N。不论我们说它们两者属于所有N，或者说它们两者属于所有S，我们将有同样的前提组合。但在两种情况下不是使用的同样的论证。显示法的式得之于感性知觉，我们不说Ｐ和R表述相关的具有普遍性的S的一部分，……而说它们表述它们之中的某个可感觉的东西，这个可感觉的东西是明显地包含在Ｐ以及R之中的。”

[51] 亚历山大100.7，“对于显示法的式带有感觉性质有利的第一个论证乃是：如果我们摒弃了它，那么我们就根本不能得到任何的论证了；他本人不说Ｐ和R属于所有N，（这些N构成S的某些部分），而他仅仅说，它们简单地属于N。他也不使用命题的换位。”

[52] 例如，见本书注。

[53] 《前分析篇》，i.6，28^b17。

[54] 亚历山大274.19，“他本人是其发明人的，被称之为'综合定理’的东西，向我们清楚地表明他现在所谈的东西。它的进程可以简略地这样叙述：'如果从某些前提得出某个命题，而这个命题与另一个命题一起引出新的结论，那么第一组与第四个命题一起也引出那同一个结论。’”下面的例子是在同一个地方举出的（26）“'所有公正的是善的’是由'所有公正的是美好的，所有美好的是善的’所引出的，通过'所有善的是有益的’引出结论'所有公正的是有益的’；这恰恰与下述情况是一样的：命题'所有公正是美好的，所有美好的是善的’（它引出命题'所有公正是善的’）通过'所有善的是有益的’也得出同样的结论'所有公正的是有益的’。”

[55] 亚历山大104.3。

[56] 参看亚历山大的注释，他始终坚持他认为显示法证明的感觉性质的看法。112.33“显示法证明带有感觉的性质，而不带有三段论的性质，从下面这一点可以明显看出来：他本人在任何地方都没有像提到三段论所得到的东西那样地提到它们。”

[57] 《前分析篇》，i.4，26^a2。

[58] 亚历山大55.22，“通过具有具体词项的前提的同样的一个组合既能够得到全称肯定的结论，也能得到全称否定的结论，提供了这个组合不具有三段论力量的最有说服力的证明，因为借助于它，彼此互相推翻的反对和矛盾的命题都得到证明。”

[59] 《亚里士多德的三段论》，卷ii a，第76页：“因而，这关系到以下的组合：

所有人是动物 所有人是动物

没有马是人没有石头是人

所有马是动物没有石头是动物

由例子表明：通过我们看到的、由逻辑上完全等价的前提所建立的前提组合，既可以得出一个全称肯定命题也可以得出一个全称否定命题。”

[60] 亚历山大89.34—90.27，黑尔米鲁斯的话被引述于89.34：“黑尔米鲁斯说：'从一个同样的前提组合能够得出矛盾的结论；那样的结论是完全能够合理地得出的，而不是用最坏的和非三段论方式得出的。它们是能够彼此不相容的。’”

[61] 《前分析篇》，i.5，27^b12－23。

[62] 《前分析篇》，i.5，27^a20，“当M既不表述任何N也不表述任何X时，一个三段论是不可能的。表示属于的词项是线、动物、人；表示不属于的词项是线、动物、石头。”

[63] 亚历山大完成了这个证明，88.12，“表示N属于所有X的词项为M——线，N——动物，X——人。线不属于任何动物，并且不属于有些人，因为它并不属于任何人，所以动物属于所有的人。”

[64] Ｊ.斯卢派斯基：《关于亚里士多德三段论理论的研究》（Z badańnad sylogistyka Arystotelesa），《佛罗克拉夫科学与文学学会会刊》，B类，第9期，佛罗克拉夫1948年出版。见讨论判定问题的第五章。