二次函数y=ax^2+bx+c的图象是以直线x=-b/2a为对称轴的抛物线,根据轴对称图形的性质可得如下结论: (1)如果P、Q关于二次函数图象的对称轴对称,则点P、Q同时或不在二次函数图象上; (2)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是二次函数图象上的点,如果y1=y2,则P、Q关于二次函数图象的对称轴对称,且对称轴是直线x=(x1+x2)/2. 运用二次函数图象的对称性可以巧妙地解决有关的问题。请看: 例1 已知二次函数的图象经过点A(-3,12),B(3,0),C(5,12),求二次函数的解析式. 解析:常规解法是设二次函数解析式为y=ax^2+bx+c,把A、B、C三点的坐标代入,再解关于a、b、c的三元一次方程组.而从图象的对称性入手可得如下简便的解法: 解:因为A、C两点的纵坐标相同, 所以抛物线的对称轴是x=(-3+5)/2=1, 因为点B(3,0)关于直线x=1的对称点为D(-1,0), 又点B在抛物线上, 所以点D也在抛物线上, 因此可设所求二次函数解析式为 y=a(x+1)(x-3), 把点C的坐标代入,得: 12=a(5+1)(5-3),解得a=1, 所以,二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3), 即y=x^2-2x-3. 例2已知抛物线y= ax^2+bx+c的顶点为(3,1),且在x轴上截得的线段长为2√3,求a、b、c的值. 解:由已知,抛物线的对称轴为x=3, 设抛物线交x轴于点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2), 则A 、B关于直线x=3对称, 因为AB=2√3, 所以点A、B到直线x=3的距离相等都是√3, 即3-x1=x2-3=√3, 所以x1=3-√3,x2=3+√3, 所以抛物线的解析式可化为: y=a(x-3+√3)(x-3-√3) =a[(x-3)^2-3] 所以y=a(x-3)^2-3a……(1) 因为抛物线顶点为(3,1), 所以抛物线又可化为: y=a(x-3)^2+1……(2) 比较(1)、(2)的系数,得: -3a=1,所以a=-1/3. 所以y=(-1/3)(x-3)^2+1 化为一般式,得: y=(-1/3)x^2+2x-2, 所以a=-1/3,b=2,c=-2. 例3已知二次函数y=ax^2+2ax+c(a>0)的图象经过点A(1,2),求当函数值y<2时,自变量x的取值范围。 解:当y=2时,抛物线上的点除了点A(1,2)外,还有一个点A关于抛物线对称轴对称的点B,其坐标设为(m,2)。 因为抛物线y=ax^2+2ax+c的对称轴为: x=-2a/(-2a)=-1, 所以-1-m=1-(-1),解得m=-3, 所以点B(-3,2), 因为a>0,抛物线开口向上, 所以当y<2时,自变量x的取值范围为-3<x<1。 |
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》