帮你学好因式分解(三)——如何确定公因式

分解多项式的因式是分步进行的，第一步是提取公因式，也是因式分解的基本方法之一，叫做提取公因式法。这种方法来自单项式乘以多项式的逆向变形，其依据是乘法分配律。运用提取公因式法分解的关键是公因式的确定。

如何确定公因式？

公因式的概念和公约数类似。多项式中每一项都有的因式叫做这个多项式的公因式。公因式的确定和公约数的确定差不多，为了能够把所有公因式一网打尽，确定公因式时按下列三步进行：

第一，确定系数。公因式的系数取各项系数(不必考虑符号)的最大公约数；

第二，确定字母。公因式的字母因式取各项都有的字母；

第三，确定指数。公因式的字母因式的指数取该字母在各项中的最小指数。

例如，多项式4a^⁴b^³－6a^³b^⁵c^⁴＋8ab^⁴c^²中，确定公因式时按上述三步进行如下：

因为各项系数4，6，8的最大公约数为2，

所以公因式的系数为2；

因为第一项含有字母a，b，第二项含有字母a，b，c，第三项含有字母因式a，b，c，三项都含有相同字母的只有a和b，

所以公因式的字母为a，b，字母因式为ab；

因为在各项中，对于a的指数，第一项为4，第二项为3，第三项为1，最小的是1，所以a的指数确定为1；

对于b的指数，第一项为3，第二项为5，第三项为4，最小的是3，所以b的指数确定为3。

所以公因式为2ab^³.

再比如，多项式6ax^²y－9abx^²y＋3aby^²的公因式是3ay；

确定公因式时要注意以下几点：

(1)并不是所有多项式都有公因式的。

比如多项式ab+bc+ac没有公因式；

(2)有些多项式的公因式只有一个数。

比如多项式2x^²-6x+4的公因式是2；

(3)公因式不局限于单项式与单项式之间的公因式，有时是多项式与多项式之间的公因式，此时的公因式有时是单项式，大多情况下是多项式。

比如，多项式(x-y)^²与2(x-y)的公因式是x-y；

(4)有时需要先改变某个因式的符号或变形，才能发现公因式。

比如，确定多项式a(a-b)^³与b(b-a)^²的公因式时，需要先把前面a(a-b)^³中的a-b化为-(b-a)，或者把后面的b(b-a)^²中的b-a化为-(a-b)才能发现公因式为(b-a)^² 或(a-b)^² .

练习：确定下列公因式。

(1)12x^³y^²z-48x^²y^⁴z+36x^⁴y^³；

(2)2ax^³-8ax^²+8ax；

(3)18x-12y+16z.

(4)a(x-y)与b(x-y)^²；

(5)x(x+y)与y(y+x)；

(6)x^²(x-2)与9(2-x).

(7)2ax(a-x)与4ay(x-a)。

（未完待续）