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第一期：负数介绍——为什么负负得正？ 一、两点之间线段最短 初中的数学课堂上，我们都学过一个叫做“线段公理”的知识： 线段公理：两点之间，线段最短。 没有什么数学知识比这个更直观，更显然的了。就算是动物也知道，朝目标直走，可以最快到达目的地。 正是因为这个“线段公理”非常显然，人人都知道，所以很多人会对其不以为然，认为没什么用处。今天这篇文章首先要改变大家的这种观念，哪怕是如此简单的数学知识，也有非常非常不简单的用处！ 二、喝水，回家的最短路径 我们来提一个有趣的问题：下图的这个人，现在要回家了，但是，他打算在回家前先去河边喝一口水。 那么，他应该怎么走才能使得喝水后回家的路径最短呢？我们把人的位置标为点A，房子的位置标为点B，河岸用蓝线来表示，同时我们把河岸看成一面镜子，点B在镜子中就有个镜像B'。 接下来我可以告诉大家哪条路径才是最短的。先在河岸线上任选一点C，人走到C点喝完水再回家的路径长度是AC＋CB，注意了CB在镜子中的镜像是CB'，所以路径长是AC＋CB＝AC＋CB'。但是AC＋CB'是连接A和B'的折线ACB'的长度，根据“线段公理”，A和B'之间，线段AB'才是最短的，所以AC＋CB＝AC＋CB'≥AB'。也就是说不论你怎么走，路程都不会小于AB'。 讲到这里，最短路径的选择也就呼之欲出了。把线段AB'与河岸线的交点记为D，这时AD＋DB＝AD＋DB'＝AB'。所以，折线ADB就是喝水后再回家的最短路径！ 三、喝水，喂草，回家的最短路径 现在我们来提一个稍微复杂一点的问题：下图的这个人带着一只羊，他打算先去河边喝一口水，然后去草地上把羊喂饱最后再回家。那么，他应该怎么走才能使得先喝水，再喂草，最后回家的路径最短呢？ 其实方法和上一节非常类似，只不过稍稍复杂一点。我们把人与羊的位置标为点A，房子的位置标为点B，河岸用蓝线来表示，草地边界线用绿线来表示，同时我们把河岸和草地边界看成两面镜子，点B在上面镜中就有个镜像B'，而点B'在下面镜中又有个镜像B''。 先在河岸线和草地边界上分别任选两点C，D，人和羊走到C点喝完水，再去D点喂草，最后再回家的路径长度是AC＋CD＋DB(下图实线)。 假设点D在下面镜中镜像为D'，那么路径长是： 但是AC＋CD'＋D'B''是连接A和B''的折线ACD'B''的长度，根据“线段公理”，A和B''之间，线段AB''才是最短的，所以AC＋CD＋DB≥AB''。也就是说不论你怎么走，路程都不会小于AB''。 考考您：现在如何选取路径，使得长度刚好等于AB''？ 四、最短路径和光线传播 刚才的镜子都是假设的，现在我们在下图上下边要用两个真正的镜子。假设B点处是一个光源，我们站在A点观察。在A点可以看到许多条光线，因为在两个镜子的互相映照下，B点光源有无数个镜像光源，比如下图中的两个镜像光源B'，B''。而其中最亮的光线，也是最短的光线，肯定是由B点直接照射向A 点的光线。 但现在我在B点前方设置一个紫色障碍，这时，从A点看到的最亮的，也是最短的光线就是经过一次折射后照过来的两根光线(如上图所示)，也就是分别从镜像光源B'，B''照射过来的两根光线。注意了，这两根光线其实分别对应着上两节中喝完水直接回家，或喂完草直接回家的最短路径。这里涉及到光学的一个原理： 光学原理：在均匀介质中，光总是沿着最短路径传播。 接下来，我们在A，B两点周围分别设如下的紫色障碍，这时上面的两条折射光线已经被挡住了。 现在，从A点看到的最亮的，也是最短的光线就是经过两次折射后照过来的光线(如上图所示)。而这根光线对应着上一节中喝完水，接着喂草，最后回家的最短路径。 所以光能帮我们找到最短路径，实际上每个带限制条件(比如先喝水还是先喂草，喝几次水，喂几次草)的最短路径，都对应着从B点到A点的一根光线。 四、最短路径和重力 其实除了光线外，重力也可以帮我们找到最短路径。我们来做个实验，在一个桌子上穿两个孔A和B，让一根绳子在桌面上穿过这两个孔，绳子末端系着两个等重的砝码。 经验告诉我们当两个砝码平衡的时候，桌面上的绳子拉直成一条连接A和B的线段。
因为物理学中有一个最小势能原理，这个原理告诉我们两个砝码平衡的时候，他们的重力势能的和，或者说，他们所处的高度的和，要达到最小值。所以露在桌面上的绳子会尽可能的短。 接下来，我们在桌子上安装一根和桌面平行的细棍，它和桌面的距离几乎为零。
这次我们让绳子先绕过细棍，再穿过两个孔。这时根据最小势能原理，当砝码平衡时，绳子拉成一条折线，代表从A点出发到细棍再到B点的最短路径。 在两个孔的另一边也安装一根同样的细棍，这次我们让绳子分别绕过两根细棍再穿过两个孔。
根据最小势能原理，当砝码平衡时，绳子拉成的折线，代表从A点出发到下方细棍再到上方细棍，最后回到B点的最短路径。这和第三节中的那个喝完水，接着喂草，最后回家的最短路径完全对应。
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