一元二次方程在求值中的代换功能

与一元二次方程有关的代数式求值问题历来是各地中考和数学竞赛命题的热点，求解的关键是要善于根据题目的特征，灵活地利用一元二次方程的变形进行代换．本文就常见的几种代换功能介绍如下．

一、零值代换功能

即直接用一元二次方程ax^²+bx+c=0的右边零代换左边的二次三项式．

例1　当x=(1+√2009)/2时，多项式

x^³-2x^²-503x+1517的值等于 ．

分析与解：直接把x的值代入计算显然很繁.由x的值可知：

2x-1=√2009，

两边平方，得4x^²-4x+1=2009，

整理，得x^²-x-502=0，

故x^³-2x^²-503x+1517

=(x^³-x^²-502x)+(x^²-x-502)+2019

=x(x^²-x-502)+(x^²-x-502)+2019

=x·0+0+2019=2019.

点评：本题巧在将已知的值转化为一元二次方程

x^²-x-502=0，

再用“零值”0去替换代数式

x^²-x-502.

这里也可以采用带余除法，直接将

x^³-2x^²-503x+1517

化为(x+1)(x^²-x-502)+2019，

再用0代换x^²-x-502。

二、常数代换功能

即把方程变形为ax^²+bx=-c，再用右边的常数c代换左边的未知项ax^²+bx．

例2已知a是方程x^²+3x-2=0的根，

则a^⁴+3a^³-a^²+3a的值等于 ．

分析与解：由根的定义，得a^²+3a-2=0，

所以a^²+3a=2，

所以，a^⁴+3a^³-a^²+3a

=a^²(a^²+3a)-a^²+3a

=2a^²-a^²+3a

=a^²+3a =2.

点评：本题巧在构造出a^²+3a =2后，多次地用2去替换a^²+3a.

三、降次代换功能

即把一元二次方程ax^²+bx+c=0变形为ax^²=-(bx+c)，然后用右边的一次式代换左边的二次式．

例3　设x₁，x₂是方程x^²+x-3=0的两个实数根，

那么x₁^³-4x₂^²+20的值是 ．

分析与解：求值式关于两根x₁，x₂不对称，难于运用根和系数的关系进行代换求解，因此，运用一元二次方程的降次功能分别将x₁，x₂的次数都降至一次.

由根的定义，得

x₁^²+x₁-3=0，x₂^²+x₂-3=0，

所以，x₁^²=3-x₁，x₂^²=3-x₂，

所以x₁^³-4x₂^²+20

= x₁x₁^²-4(3-x₂)+20

=x₁(3-x₁)-12+4x₂+20

=3x₁-x₁^²+4x₂+8

=3x₁-(3-x₁)+4x₂+8

=3x₁-3+x₁+4x₂+8

=4(x₁+x₂)+5，

又x₁+x₂=-1，

所以4(x₁+x₂)=-4，

故x₁^³-4x₂^²+20

=-4+5=1.

点评：本题利用的是一元二次方程的降次功能，通过降次将非对称的两根代数式变为对称，为根和系数关系的运用创造了条件.

四、升幂代换功能

即把方程变形为c+bx=ax^²，再用右边的高次项代换左边的低次项．

例4已知x=(√5+1)/2，则(x^³+x+1)/x^⁴的值等于 ．

分析：先将已知变形，构造一元二次方程，再考虑对策.

由已知得2x-1=√5，两边平方，得

x^²-x-1=0，从而x+1=x^²，

故(x^³+x+1)/x^⁴

=(x^³+x^²)/x^⁴

=x^²(x+1)/x^⁴

=x^²·x^²/x^⁴

=1.

点评：本题巧在运用一元二次方程的升幂功能将求值式的分子逐步升幂，与分母约分、化简，避开了直接代入计算的繁杂性.

五、倒数代换功能

即当a=c时，把方程变形为x+1/x=m，再用右边的m代换左边的x+1/x．

例5　设x/(x^²-√2x+1) =1，则

x^²/(x^⁴-2√2x^²+1)的值是＿＿＿＿．

分析：已知化为x^²-(√2+1)x+1=0，

因为x≠0，两边除以x，得

x+1/x=√2+1，

将求值式的分子、分母同时除以x^²，得

x^²/(x^⁴-2√2x^²+1)

=1/(x^²-2√2+1/x^²)

=1/[(x+1/x)^²-2-2√2]

=1/[(√2+1)^²-2-2√2]

=1/(3+2√2-2-2√2)

=1．

六、系数代换功能

利用韦达定理，用方程的系数去代换两根和与两根积．

例6设实数a、b分别满足a^²=4a+3，b^²=4b+3，

则a/b+b/a的值为­ ．

分析与解：当a、b不相等时，由根的定义，知a、b是方程

x^²=4x+3(即x^²-4x-3=0)的两根，

故由根和系数的关系，得a+b=4，ab=-3，

从而a/b+b/a

=(a^²+b^²)/(ab)

=[(a+b)^²-2ab]/(ab)

=(16+6)/(-3)

=-22/3；

当a=b时，a/b+b/a=1+1=2.

故，a/b+b/a的值为-22/3或2.

点评：如果两个实数同时满足某个一元二次方程，虽然这两个实数都是该方程的根，但不一定恰好是它的“两根”.