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随着我们的出的讲义正式的出版后，得到了越来越多的老师和同学的认可，在此我们谢谢各位的抬爱。再次感谢，我们会不断的努力。 顺便，也回答各位朋友的一些问题。 问：汤老师，你在哪学校教书啊？ 答：我现在没有进任何一所学校，曾经多次想尝试着进学校去和大咖们去学习。但由于各种原因被拒！一直以课外辅导为生。 问：汤老师，出版了这么多书，你是不是有一个团队？ 答：说来实在是惭愧！我们的团队原先就是两人，我和我爱人邬老师，最近得到潘老师的鼎力相助。非常感谢！@潘老师。这些东西只是我们平时在授课过程中积累的一些方法，当中还有很多的不足，我们也在慢慢地完善！也希望各位老师批评与指导。在这里我和邬老师表示感谢了！我们也在把我们的课程录制成视频，在本公众号“在线学习”可以观看。 问：……。 下面言归正传，说说我们 相似三角形中，会出现很多的相似模型，其中母子相似是一个比较难的模型，应用好了母子相似模型，对解决一些相似的综合题会带来很多的方便， 下面我们来看看母子相似的模型。 △ABC，AC边上有一点D，且∠ABD=∠C。 求证：△ABD∽△ACB。 分析：这个相似证明对于同学们来讲是毫无压力的。直接通过两个角对应相等，求出三角形相似。 结论：通过三角形相似，我们要得出一个常用的结论，这个结论不在以后解决问题中会非常方便。 ∵△ABD∽△ACB。 ∴ ∴AB²=AD·AC。
例题1：（2015·滕州市校级四模）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为 ． 分析：题干中有角平分线，有圆，那么可以轻而易举的得出角相等，要求线段AE的长，对于题干中给出了那么多和角度有关的条件，那么我们思考问题的方向就是相似。对于这个图形，我们可以看出有很多三角形相似， △ABE，△ABD，△CDE，△ACD四对三角形互相相似。到底选哪对相似，很多同学都会出现选择“恐惧症”。 当我们熟悉了母子相似模型的结论后，那么通过采集到的条件信息CE=4，CD=6。需要求AE，那么我们联想到母子相似。利用△CDE∽△CAD。得出CD²=CE×CA。结论将轻松得出。 解：∵AC平分∠BAD。 ∴∠CAD=∠BAC=∠CDE， ∵∠C=∠C ∴△CDE∽△CAD。 ∴ ∴CD²=CE×CA 设AE=x。 6²=4×（4+x） 解得x=5 答案：5 例题2：（2018年杭州市余杭区二模）如图，C为⊙O上一点，E为直径AB延长线上的一点，BF⊥CE于点F，交⊙O于点D，且∠ABD=2∠A。 （1）求证：EC是⊙O的切线。 （2）若BE= 分析：第一问证明相切，C点明确，在圆上，所以我们是“连半径，证垂直”，即证明OC⊥CE即可。 第二问求tanA，显然我们看到∠A在Rt△CAB中，也就是要求出 点评：在教学的过程中，我发现大部分的同学都是通过上面的方法来分析第二问，看上去好像并没有什么问题，但是计算过程是非常的巨大，显然不太可选。 在得出第一问相切后，那么我们就可以得出∠BCE=∠A。△CBE和△ACE是母子相似模型，那么就要熟悉结论。CE²=BE×AE。条件告诉我们BE= 我们也可以“隔山打牛”，不要直接求出BC和AC的长度，可以通过△CBE和△ACE得出：
（1）证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠C，∠COB=2∠A ∵∠ABD=2∠A ∴∠COB=∠ABD ∴OC∥DF ∵BF⊥CE ∴OC⊥CE ∴EC是⊙O的切线。 （2）解：∵OC⊥CE ∴∠ECB+∠OCB=90° ∵直径AB。 ∴∠ACO+∠OCB=90° 易得∠A=∠ECB ∵∠E=∠E ∴△ECB∽△EAC 得 ∴EC²=EB·EA. ∵BE= 则AB=4k， ∴EC²=k×5k EC= ∵△ECB∽△EAC 得tanA= 总结：在我们熟悉了母子相似的结论后，我们在解决一些问题会变得简单很多。 |
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