七年级下数学培优4:容斥原理于归纳思维 尖子生必掌握知识和能力

在我们解决数学问题时，经常遇到探索规律或者方案确定问题。这是一类非常重要的问题，无论是在平时考试中还是在数学竞赛中，都是一个重点内容。它涉及到统筹法的应用、容斥原理和归纳的数学思想方法，本篇文章就分类来讲解这类问题的思路和方法：

一、核心知识

1．统筹法的应用——生活中会遇到这样一些问题：完成一件事怎样合理安排，才能做到所用的时间最少；把一批货物从一个地方运到另一个地方去，选择什么样的运输方案，才能运费最省；车站设在什么地方，才最方便附近工作的乘客等．此类问题都涉及到如何统筹，目标是选择最佳．

2．容斥原理的应用：

（1）数集：把若干个数聚在一起叫数的集合，简称数集．例如0，1，2三个数，可写成集合{0，1，2}，其中0，1，2叫做这个集合的元素，一般集合用A、B、C等表示，用a、b、c等表示集合的元素，用|A|、|B|分别表示集合A、B元素的个数，用A∩B表示A和B的公共部分（即交集），用A∪B表示A或B的部分（即并集）．

如设集合A={0,1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，则|A|=5，|B|=4，A∩B={2,3,4}，A∪B={0,1,2,3,4,5}．

（2）容斥原理公式：

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|；

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|；

解决原理公式有关问题的图形，通常使用“韦恩图”的方法．

如图，其中A、B、C分别表示具有A、B、C三种性质的集合，而A、B的公共部分

表示具有A、B两种性质的集合，A、B、C的公共部分具有A、B、C性质的集合．

3．归纳思维——通过特例的观察、实验、抽象概括，引起直觉上的共鸣，发现事物的共性，这种规律性的思维过程称为归纳思维（即不完全归纳法）．

二、例题讲解

（一）统筹法的初步应用

• 【例1】车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为15、8、29、7、10分钟，每台机床停产一分钟造成经济损失5元，问：应怎样安排修复顺序使经济损失最少？最少损失是多少元？

【点拔】关注分析等待修理时间长的机床数的多少，哪一种更有利？

【解答】7x5+8x4+10x3+15x2+29x1=156(分钟）

156x5=780（元）

【反思与小结】一般地，哪一个修理的时间最短，下修理哪一个.从整体上来说，先修理用时最短的，其他等待的总时间最短，从整体的经济效益来说，损失最小。

• 【例2】（1）妈妈让小明给客人沏茶，清洗水壶需要2分钟，清洗热水瓶需要1分钟，洗茶杯需要3分钟，拿茶叶要2分钟，烧开水要15分钟，为了使客人早点喝上茶，按统筹法安排，至少多少分钟才能喝上茶？

【点拔】思考哪些事情是必须的，哪些事情可以同时做？从整体上统筹．

【解答】解：开水壶2分钟→烧开水15分钟（洗热水瓶1分钟，洗茶杯3分钟，拿茶叶2分钟）→沏茶，所以最少需要17分钟．

【反思与小结】要从整体统筹，清洗水壶、烧水是必须的，而其他的事情可以在烧水的时间去做，因此要从整体上思考才能做到所用的时间最短。

• 【举一反三】在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉子上只能同时放2块饼，现在需要烤3块饼，最少需要几分钟？

【点拔】要使时间最短，必须每次同时烤两面，怎样做到每次同时烤两面呢？

【解答】最少需要9分钟

（二）容斥原理的应用

• 【例3】某研究所共有研究人员91人，在英、日、德三种外语中，每人至少懂得一种，其中懂英语的47人，懂日语的有50人，懂德语的有50人，懂英、日两种外语的22人，懂英、德两种外语的21人，懂日、德两种外语的23人，问英、日、德三种外语都懂的有几人？

【点拔】注意弄清题意，搞清此题是求哪些集合的公共部分，然后根据容斥原理解决．

【解答】设三种外语都懂的为x人，则91=47+50+50-22-21-23+x, 所以x=10

既三种外语都懂的有10人

【反思与小结】解决此类问题，通常利用“韦恩图”的方法来解决。如左图。

其中A、B、C分别表示具有A、B、C三种性质的集合，而A、B的公共部分表示

具有A、B两种性质的集合，A、B、C的公共部分具有A、B、C三种性质的集合。

• 【例4】在1000—2000之间，包括1000和2000，能被4或6整除的数有多少个？

【点拔】关注找到能被4整除的数、被6整除的数分别有几个，既能被4整除的数又能被6整除的数有多少个。

【解答】解：设A={1000-2000能被4整除的数}，B={1000-2000能被6整除的数}

则需要计算的是|A∪B|

能被4整除的数第一个是1000，最后一个是2000，则|A|=（2000-1000）/4+1=251

能被6整除的数第一个是1002，最后一个是1998，则|B|=(1998-1002)/6+1=167

A∪B={1000—2000既能被4整除又能被6整除的数}={1000—2000能被12整除的数}

因为能被12整除的数第一个是1008，最后一个是1992，则

| A∩B |=(1992-1008)/12+1=83

所以| A∪B |=|A|+|B|-|A∩B|=251+167-83=335

即在1000—2000之间，包括1000和2000，能被4或6整除的数有335个

【反思与小结】运用容斥原理解决有关问题，一定要搞清楚每个集合的对象，以及集合中元素的个数，尤其关注相关集合之间的公共部分、并集部分的元素以及数目不要搞错。

（三）归纳思维

• 【例5】探究问题：

问题一：a、b为两个正整数，且满足a+b=10，探究ab的值？

猜想：当a=________，b=________时，ab的值最大，最大是______________；

问题二：a、b为两个正数，且满足a+b=10，

猜想：当a=________，b=________时，ab的值最大，最大是______________；

简要说明：设a=5+x，则b=________，则ab=________，

此时当x=________时，ab最大，最大是_____________；

图形说明：观察图形，分别用两种方法表示阴影部分的面积：

第一种：______________________________；第二种：______________________________；

得到关于a、b的公式是：______________________________；

观察下列发现当a、b接近时，阴影部分的会越来越_______________；

猜想：当ab、满足_________关系时，ab的值最大，最大是_______；此时阴影部分的面积为_______；

问题三：a、b为两个正数，且满足a+b=m，其中是固定的正数，

猜想：当a=________，b=________时，ab的值最大，最大是______________；

问题四：a、bc、为三个正数，且满足a+b+c=m，其中是固定的正数，

猜想：当a=________，b=________，c=________，时，abc的值最大，最大是______________；

【反思与小结】利用归纳方法探究问题一般遵循“特殊——一般——特殊”的规律。从特殊的数字、位置研究某一问题，归纳出具有一般意义的结论，再在特殊数字、位置中验证所得到的结论正、误。本例利用归纳得出两个正数的和是一个定值，当两个正数相等时，乘积最大。

• 【例6】在图1至图3中，已知△ABC的面积为a ．

（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，

则S1=______（用含a的代数式表示）；

（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示）；

（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF

（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示），

并运用上述（2）的结论写出理由．

发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的多少 倍．

应用：去年在面积为的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△GHI（如图4）．求这两次扩展的区域面积共为多少？

【反思与小结】三角形之间的面积关系，可以通过比较两个三角形的底、比较它们的高发现两者之间的关系.

• 【举一反三】①=_______；②=_______；③=_______；

④=_________；⑤=_________；……

则第个等式是：______________________________；能否证明第个等式？

【点拨】观察每个等式的结果与四个因数中哪些因数有关？能否归纳其规律？

对于等式的正确性需要利用多项式乘法进行证明，证明时，能否根据从等式右边的结果出发，思考左边利用乘法结合律与“整体”的数学思想进行证明？

• 【例7】有依次排列的3个数：3，9，8，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？

【点拨】能否通过第一次操作、第二次操作、第三次操作寻找规律，进行解答？

【反思与小结】本题体现了一般与特殊的数学思想，首先对于比较复杂的数字问题，通过用字母表示数，发现其中的规律，这是由特殊到一般的过渡，在数学上称为一般化的方法；由一般化的方法所得到的规律，可以进行实际的应用，解决具体的问题，这是一种由一般到特殊的过渡，在数学上称为特殊化的方法.

• 【例8】设y=f(n)=n^2+n+4，当n=0时，f(0)是质数；当n=1时，f(1)也是质数；当n=2时，f(2)也是质数；当n=3时，f(3)也是质数；于是猜想当n为自然数时，f(n)一定是质数，你认为这一猜想是否正确？

【点拔】能否找到使f(n)不是质数的的值？

【反思与小结】从特例中悟出规律，也就是从具体实例的个性悟出个性中所隐含的共性（规律性的东西）的思维是一种不完全归纳，只能是合情推理，其结论可能是正确的，也可能是错误的，只有通过逻辑证明（以后还要学习），才能确立猜想的正确性．所以对归纳思维应保持积极的态度，既要大胆猜想发现的规律，又要小心求证。

• 【例9】（1）在图1中，如果AB∥CD，探究∠ABP1、∠CDP1、∠BP1D的之间的数量关系，并说明理由；

（2）在图2中，如果AB∥CD，探究∠ABP1、∠CDP1、∠BP1D的之间的数量关系，并说明理由；

（3）在图3中，如果AB∥CD，探究∠ABP1、∠BP1P2、∠CDP2、∠P1P2D的之间的数量关系，并说明理由；

（4）在图4中，如果AB∥CD，探究∠ABP1、∠BP1P2、∠CDP2、∠P1P2D的之间的数量关系，并说明理由；

三、总结积累

容斥原理是数学竞赛的四大原理之一，在初中竞赛中多有涉及，是计数方法必不可少的知识。就是有重叠计数的就减去，有少计数的就加上，在平时习题中大家注意多加练习。而归纳思维在数学各个阶段、各个分支中都有着重要的作用，在中考题中还专门有探索规律的专题。他考察学生分析、比较、探索、归纳的能力。从变化中寻找不变，在不变中发现规律。这是同学们学习数学也是生活中必备的能力。