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【2019合肥五十中东校三模】23. (1)如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD=50°，连接AC,BD交于点M. ①AC:BD的值为______②∠AMB的度数为_______; (2) 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M，求AC:BD的值及∠AMB的度数. (3)在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M,若OD=√3,OB=√21, 请直接写出当点C与点M重合时AC的长. 【手拉手】 【解析】 （1）由△BOD和△AOC手拉手式的全等，得到AC=BD,所以其比值为1，而这一对全等三角形还可以得到∠CAO=∠DBO,所以∠AMB=∠AOB=50° （2）类比第（1）问，由△ACO∽△BDO,得AC:BD=AO:BO=√3，同样∠CAO=∠DBO,所以∠AMB=∠AOB=90° （3）在第（2）问的条件，C点和M点重合时，求AC长。 关键是C点旋转到什么位置时会M点重合呢。 在第（2）中，我们知道了∠AMB是90°，那么这个结论并不会因△CDO旋转而改变，也就是直角△AMB始终存在，所以我们就先确定M点轨迹，即以AB的中点的圆心，以AB为直径的一段弧。动点C的轨迹就简单的多了，它是O点的圆心，OC长为半径的圆。如下图： 那么M点和C点重合时，就有两个种情况了，如下图 所以AC长为6或9. 我们再来感受一下，点C与点M的重合。 |
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