泛函,是指自变量是函数的函数。例如,设C是[a,b]上全体连续函数组成的集合,对任意的函数f∈C,令Tf=f(a),则T就可以称作一个泛函。 泛函分析可以看做是线性代数的推广。一般的线性代数理论,讲的是有限维空间,而泛函分析可以处理无穷维线性空间,例如特征值、基等。泛函分析可以看做是欧氏几何的推广,将度量、范数、内积等概念,甚至角度、勾股定理、投影等推广到一般线性空间。泛函分析可以看做数学分析的推广,讨论各种空间的各种收敛性质,包括新定义的收敛,讨论与分析相关的空间的性质等。 泛函分析的部分知识以实变函数为基础,特别是关于积分的内容,提到的积分一般都是实变函数中的勒贝格积分,而不是数学分析中的黎曼积分。而复变函数在泛函分析中应用较少,主要是讨论关于复线性空间时,需要一些复数域的结论。 |
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