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数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

2019-06-24  西窗听雨
 2019-06-24 14:09:18
数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

当你在生活中观察到一个有趣现象,并思考其中的道理时。你会惊讶地发现我们的宇宙有可以被理解的物理意义。因为我们可以观察正在发生的事情,确定并发现支配它的规律,并预测在相同或相似的情况下会发生什么,总结出一套规范这种现象的科学规律,这正是科学所拥有的最独特的力量和魅力。但科学也有昏暗的角落,我们无法看清角落里面发生着什么。科学也并没有从根本上告诉我们,宇宙最基本的层面是什么样的。我们是由点状粒子组成的吗?还是几何结构?我们是宇宙本身的涟漪吗?后面这几个问题是我个人的遐想。(哈哈)

而数学是我们认识宇宙最有力的工具,它让物理学不在停留在理论层面,数学以自己独特的方式美丽而优雅的表述出了宇宙最基本的规律。在一个看似简单的拼图谜题中,我发现了下面这张被称为“三角形谜题”的图片。这张图里有多少个三角形?92.6%的人答错了!所以今天我们就来解答这个问题,并总结一个数学规律!

这张图里有多少个三角形?92.6%的人答错了!

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

上图中等边三角形的两条边被来自顶点的三条线分割,这里就有一个问题是:在这副图中“有多少个三角形?”

如果你有兴趣的话,在往下看之前也可以试着自己解一下,看看自己的答案是多少。下文中我将为大家解出正确答案,并展示一个漂亮的数学模型。

先说两个网友的解答

解(1)

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

网友的解答

这个方法中尝试从每条直线相交的每个点构造出新的三角形是可行的,但是这样在一个图中数脑子容易乱,很容易将同一个三角形两次或三次计数。上面图片中的得出的数字太高了,因为正确答案不是70。

解(2)

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

可以仔细看上图这种方法也是特别麻烦,虽然得出了正确答案(剧透警告) 64,但是这个图解是存在瑕疵的,因为其中没有算一些实际存在的三角形,可把有些三角形进行了两次计数。(例如,仔细看第一行、第五行、第六行中被重复计数的三角形)

当你在做题的时候经历了错误的过程却得到正确的答案时,这其实挺麻烦的,还不如直接做错。因为能得出正确答案这就说明过程中的错误不止一处,需要犯很多错误来弥补上一个错误,有点让人头疼。

这个图片中到底有多少个三角形

那么接下来我将通过一个简单的方法来展示图中有多少个三角形?

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

三角形中所有直线相交的点。

我们从三角形的底部两个基本顶点开始。当我们沿着每条线向上移动时,我们将逐渐遇到两条线的相交点,上面红点标记的是我们将遇到相交点的顺序。

我们每次遇到相交点时,我们会用相交点和三角形底部的两个基本顶点中的一个(或两个)来计算产生的新三角形。为了避免重复计算,我们将只使用当前相交点及以下的点来创建三角形,以确保不会将同一个三角形计算两次。我们还应该注意下,标记为2和3、4和5、6和7、9和10、11和12、14和15的这些相交点都是彼此的镜像,所以这些集合给我们提供了相同数量的三角形。

那我们开始吧,通过从1到16这些交点,看看我们得到多少个三角形。

Q1、点1构成的三角形

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

点1作为三角形的顶点

相交点1,是我们到达的第一个点,点1的下方只有两个基本顶点和它构成了一个三角形,这个很明了,我们开始下一个。

Q2、点2构成的三角形

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

点2和3作为三角形中的顶点。

如图所示,点2和点3每一个新的相交点都可以构成两个新的三角形,一个三角形使用的基本顶点,另一个使用相交点—点1,这现在就是构成三角形的一个模式。随着我们继续向上找,这种模式会一直继续下去。

Q3、现在我们来看点4和点5。

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

点4和5作为三角形中的顶点。

可以看到,我们可以在每个相交点的下方构造三个新的三角形。这很简单明了,下面的点6和第7也一样。

Q4、点6和7构成的三角形

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

点6和7作为三角形中的顶点。

每个相见点得到四个新的三角形,每个三角形使用的是我们刚才规定的比相交点低的点作为顶点。到目前为止,一切都表现良好:没有重复计算,也没有漏掉的三角形。是不是觉得很无趣,觉得没意思,一点都不好玩。别急,我们再往上走一步,到交叉点8,会稍微有点变化。哈哈!

Q5、点8构成的三角形

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

点8作为三角形中的顶点。

为什么点8和上面的点有区别呢?因为,我们现在可以建立成功的,新的,唯一的三角形从相交点8,开始可以连接到比它低的任意一个基本顶点,这是我们以后所有的点都要注意的问题。

Q6、继续前进,点9和10构成的三角形

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

点9和10作为三角形中的顶点。

点9和10分别给出了四个新的、唯一的三角形,分别连接到(或同时连接到)基本顶点(或多个顶点)。

Q7、点11和12构成的三角形

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

点11和12作为三角形的顶点

对于11和12,我们分别得到了5。到目前为止,所有这些三角形都是唯一的,并且包括了所有三角形。不放心的话请随意检查。我们只剩下四个交点了,赶紧数完!

Q8、点13、14、15、16构成的三角形

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

点13作为三角形中的顶点。

…相交点13再多5个

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

点14和15作为三角形的顶点。

点14和15各6个,最后,最上面的一点16……

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

7个!总的来说,我们可以把这些数字加起来,得到1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 7 = 64,所以事实上图片中有64个三角形。别急还没完!

64是一个神奇的数字:它是一个完美的正方形(8^2 = 64),它也是一个完美的立方体(4^3 = 64),你现在可能想知道三角形的数量是否与两个基本顶点产生的线数有关。我看看下图:

数学︱这张图里有多少个三角形?只有7.4%的人能数对,你呢?

在每个新顶点上创建的三角形数

现在,我们将揭开一个规律,三角形的数量恰好和大三角形每个基本顶点下的直线数密切相关,在上面的例子中,大三角形每个基本顶点的下方是4条线。

如果只有一条线,那么顶点的下方就只有一条直线,也就是说只有一个三角形。

如果我们有两条直线,那么每个顶点的下方就是两条直线,总共有8个三角形。(1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 1 = 8)

如果我们只有三条,我们会得到每个顶点的下方会有三条线,总共27个三角形。(1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 2 + 5 x 1 = 27)

可以看到,对于4条线,我们得到了64。(1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 3 + 6 x 2 + 7 x 1 = 64)

我相信你敏锐的直觉已经注意到了,1^3 = 1、 2^3 = 8 、3^3 = 27 、4^3 = 64,这就是规律!

所以继续画一个三角形来自两个顶点任意数量的直线;现在你不仅知道了基本分析模式,包括向上移动时每个顶点可以生成多少三角形,而且还知道了怎样一口气写出完美的数学公式:n^3,n是三角形基本顶点下方的线数,直接数就完事了!

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