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数学笔记-同济第七版高数(上)-第一章-函数与极限-函数连续性

2019-08-05  鼎新教育

一、连续

1、函数在一点连续,则lim(x->a)f(x)=f(a)或f(a-0)=f(a)=f(a+0)

即:函数若在一点连续,则在该点的极限值与函数值相等。

左连续:f(a-0)=f(a)

右连续:f(a+0)=f(a)

例1: {(e^(ax)-1)/ln(1+x) x>0

f(x)= {2 x=0

{b/(1+x^2) x<0

f(x)在x=0处连续,求a,b。

f(0-0)

=lim(x->0^+)f(x)

=lim(x->0^+)[(e^(ax)-1)/ln(1+x)]

=[lim(x->0^+)(e^(ax)-1)]/[lim(x->0^+)ln(1+x)]

(上一节说道,(e^Δ-1)~Δ (Δ->0),x~ln(1+x) (x->0))

=lim(x->0^+)(ax)/lim(x->0^+)(x)

=lim(x->0^+)(a)

=a

f(0)=2

f(0+0)

=lim(x->0^-)f(x)

=lim(x->0^-)(b)/lim(x->0^-)(1+x^2)

=b

∵ f(x)在x=0处连续

∴ f(0-0)=f(0)=f(0+0)

∴ a=b=2

2、设f(x)在闭区间[a,b]内有定义,且

(1)f(x)在[a,b]内处出连续

(2)f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)

称f(x)在[a,b]连续,记为:f(x)∈c[a,b]

二、间断点

1、间断:if lim(x->a)f(x)≠f(a),称f(x)在x=a间断

也就是说,某点极限存在,但极限不等于该店函数值。

2、间断点分类

(1)第一类间断点:f(a-0),f(a+0)都存在

1)可去间断点:f(a-0)=f(a+0)≠f(a)

2)跳跃间断点:f(a-0)≠f(a+0)

(2)第二类间断点:f(a-0)和f(a+0)至少有一个不存在

即:极限值不存在的为第二类间断点

例2:f(x)=(x^2-3x+2)/(x^2-1)求f(x)间断点及分类

x=±1为间断点

(1)x=1时

lim(x->1)f(x)

=lim(x->1)(x-2)/(x+1)=-1/2,极限存在但是函数值f(1)不存在,为可去间断点

(2)x=-1时

lim(x->-1)f(x)

=lim(x->-1)(x-2)/(x+1)=∞,极限不存在,为第二类间断点


Notes:a>1时

lim(x->-∞)(a^x)=0 lim(x->+∞)(a^x)=∞

lim(x->0^+)(e^(1/x))=0 lim(x->0^-)(e^(1/x))=+∞

数学笔记-同济第七版高数(上)-第一章-函数与极限-函数连续性

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