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学习也需要有发展的目光。当函数的底数和指数中同时出现变量时，如果要对它求极限或求导，就可以运用对数法。 举个最简单的例子，对x^x求极限，无论x趋于定义域内的任何值，或者趋于无穷，都可以通过取e^ln(x^x)=e^(xlnx). 然后利用复合函数的极限法则，对xlnx求极限，记为A，那么原极限就等于e^A. 求导也是同样的道理。 因此，对数法求极限或求导的一般步骤包括： (1)取e^ln(原函数)； (2)将原函数的指数，记为v，前提到ln前面做系数。即化为e^(uln(原函数底数))的形式； (3)求vln(原函数底数)的极限A或导函数，记为g'(x)； (4)原极限为e^A，原函数的导数为f(x)g'(x). f(x)为原函数，g(x)=lnf(x). 以上是老黄自己总结的，所以路子比较野。老黄的特点是，“野”过之后就会自然在脑海里产生常规的表达方式，如果教材上有这个内容，那么它的描述大概应该是这样的： 应用对数法求f(x)=u(x)^v(x)的极限或导函数的一般步骤包括： (1)使f(x)=e^ln(f(x)); (2)转化为f(x)=e^(vlnu); (3)求vlnu的极限记为A，或(vlnu)'=vu'/u+v'lnu=g'(x)； (4)原极限为e^A, 导函数为f(x)g'(x), g(x)=lnf(x). 在探究数学问题的时候，路子可以野一点，但最终都要归入正途。这其实是一个生成自己的知识，再融入自己的知识结构的过程。这就是“学习需要有发展的目光”其中的一个方面。 初学者在运用对数法时，当然需要按部就班，按照上面所列的一般步骤来应用。但是如果一个人学了很久，每次运用对数法，都还要亦步亦趋地一步步按照一般步骤来做的话，那就是缺乏学习的发展目光的一种表现了。 其实像老黄这样，学习对数法的净时间算起来大约有几个小时的学习者来说，已经到了需要做出变化的时候了。老黄决定把自己如何用发展目光去运用这个知识的心路历程以及应用过程给大家分享一下。老黄的经验是，应用对数法时，可以直接从第三步开始，这样会省却很多工作。 举个例子，求极限：lim(x→1- ) (1-x^2)^(1/(ln(1-x))).
分析：当然不是所有“底、指同时含有变量”的极限都需要运用对数法。这是一个0的无穷次方型的未定式极限，像这种无法直接求极限的类型，才要运用对数法。如果按“四步法”去做，过程繁琐，式子写起来也很麻烦。所以老黄以“几个小时的”经验判断，解决这类问题，可以从第三步开始，即直接求"vlnu"的极限，问题就解决了。因此，解题过程如下： 解：A=(lim)(x→1- ) (ln(1-x^2))/(ln(1-x))【v=1/(ln(1-x)，u=1-x^2】 =(lim)(x→1- )(2x/(1-x^2 ))/(1/(1-x))【运用了一次洛必达法则】 = (lim)(x→1- ) 2x/(1+x) =1.【约分后得到一个在x=1左连续的函数，因此可以直接代入x=1求极限】 原极限=e^A=e. 
怎么样？这个解题过程是否简洁了不少！对有基础的小伙伴来说，是否通俗又易懂！至于求导的实例，也是类似的道理，请自行找例子演练。许多人不重视知识本身，只在乎老黄是否资深人士，坦白说，老黄不是，和你一样，只是一个初学者，甚至学的时间可能比你短得多，而且全是无师自通的！但老黄其实智商很低的。 |
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来自： 老黄的图书馆 > 《高数知识和题目分析》
、函数图像仅供参考
