平行四边形，对角线 角平分线 5个结论 一个不能少 解读H36题

H36.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC=60°，AB=1,BC=2，则下列结论正确的是（ ）.

（1）∠CAD=30°；

（2）BD=√7;

（3）平行四边形ABCD的面积=AB·AC;

（4）OE=1/4AD;

（5）△APO的面积=√3/12.

解读：

1.判断△ABE是等边三角形，可得EA=AB=BE=EC=1，等腰△EAC顶角120°，底角30°，平行推出∠CAD=∠ACB=30°；

2.判断Rt△COD，含30°角，斜边CD=1，求得OD=√7/2，BD=2OD=√7；

3.判断∠BAC=90°，平行四边形面积=2△BAC的面积=2×1/2 AB·AC= AB·AC；

4.判断OE是中位线，OE=1/2AB，AB=1/2AD，OE=1/4AD；

5.分以下4步求△APO的面积：

第一步：△AOE与△EOC面积相等=√3/8；

第二步：△POE与△AOP等高推出其面积比=PE:AP；

第三步：由OE//AB推出PE:AP=OE：AB=1:2；

第四步：△AOP的面积=2/3△AOE的面积=2/3×√3/8=√3/12。

由此得出：本题5个结论都正确！

解答：

①∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE=1，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=BE=1，

∵BC=2，∴EC=1，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，

∴∠ACE=30°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°，

故①正确；

②∵BE=EC，OA=OC，

∴OE=1/2AB=1/2，OE∥AB，

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

且∠OCE=30°

∴Rt△EOC中，OC=√3/2EC=√3/2

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD=∠BAD=120°，

∴∠ACB=∠CAD=30°，

∴∠ACD=90°，

Rt△OCD中，由勾股定理得，

OD=√（3/4+1）=√7/2，

∴BD=2OD=√7

故②正确；

③由②知：∠BAC=90°，

∴S▱ABCD=2S△ABC=AB·AC，

故③正确；

④由②知：OE是△ABC的中位线，

∴OE=1/2AB,

∵AB=1/2BC

∴OE=1/4BC=1/4AD,

故④正确；

⑤∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC=√3/2，

∴S_△AOE=S_△EOC=1/2OE·OC=√3/8，

∵OE∥AB，

∴EP:AP=OE:AB=1/2,

S△POE：S △POA=EP:AP=1/2,

∴S_△AOP=2/3S△AOE

=2/3·√3/8=√3/12

故⑤正确。

本题5个结论①②③④⑤都正确！