|
本文收录于：公众号底部菜单 模型技巧-初中经典模型-经典体系 今天继续初中代数，说说函数，函数这个东西其实是一个数形结合的东西，既有解析式，也有图像，所以其受到出题老师的青睐，经常出现在试卷压轴题的位置。 函数之中的计算非常的重要，到了高中也是，故而勉强把函数归在代数这一方。 00函数的准备 函数一定要学其图像，怎么表示函数的图像，这就需要坐标系： 做题常用的坐标公式： 虽然这两个公式好像是高中知识，好像是超纲，但是初中完全可以理解 其实这两个公式在数轴的时候就已经可以介绍了，只不过讲坐标系的时候进行知识的迁移和升华（加上勾股定理）。总之就是易得 01函数的由来 其实在小学阶段，就学习了“函数”，只是没有以这个名字出现而已。 小学学习的正反比例其实就是正比例函数和反比例函数。 函数这两个字是怎么来的呢？ 02函数学习过程 初中阶段学习函数一般是按照下面的过程来学的，高中其实也差不多。 例如： 03学了个假函数 众所周知，初中学习三大函数，还有一个东西，大多数教材上也叫函数，但其实在初中并不是真正的函数，是为了和高中接轨才这么叫的，其实沪教版把此内容叫锐角三角比还是挺贴切的。既不研究图像，甚至变化趋势也不怎么提（有提的有不提的）。
三角函数的图像其实是这样的：
04函数与方程 函数与方程的结合比较紧密：
如图：
如下图，会解一元二次不等式了么？
05一次函数的几何性质 一次函数的高宽比： 高宽比，就是函数上任意两点的铅锤高度和水平宽度的比值，也有叫纵横比（纵和横貌似只是突出了方向属性，高和宽只突出了长度属性，我觉得更科学应该叫纵高横宽比） 我们发现只有一次函数的高宽比是恒与点的位置无关的，也就是只和k 有关，高宽比就等于k的绝对值(所以k也叫斜率（倾斜程度）） （这一点可以结合实际问题去理解，比如vt图像啊什么的） 下图k变化，高宽比变化。
下图两点位置变化，高宽比不变。
下图自己看变化：
刚也说了高宽比是k的绝对值。也就是高宽比相等时候k不一定相等，也可能互为相反数。如下两图
因为b 的变化就是直线平移（而且可以看做横着平移也可以看做竖着平移，也可以看做任何方向的平移），也就是说平移不改变k(和高宽比)，也就是平行直线k相等。 开锁法与垂直直线斜率： 什么是开锁法？如下题：怎么做？
当然可以看做B旋转90度，但是这样的做标特点不明显啊？！
之前也讲过垂直策略，构造三垂直即可计算了。
怎么样都可以三垂直都行。
有么有更简单的方法（或者更神奇），回到刚才的旋转90度，如果绕着原点旋转的话，那两个点的做标就特别了。（哪特别？不用我说吧）如下图
这样可以口算做标，其实不需要辅助线了。 A下3左11到原点，B下3左11到（2,5），此时的C显然是（-5,2），平移回去，上3右11得真正的C的做标（6,5） 因为过程分为三步（1拿出来对准位置，2旋转，3放回去），和开锁的三步差不多（也是1拿出来对准位置，2旋转，3放回去），故名开锁法。（我也是看万伟华老师的大作学习的）
如果连出直线会怎么样？发现两垂直直线的高宽比就是互为倒数的 啊啊。
显然k是一正一付，所以也说垂直直线斜率k互为负倒数。
关于直线对称的点和直线 刚刚是旋转，那么对称呢？（点平移就不说了左减右加，上加下减），如图：已知一条直线和一个点，怎么求它的对称点呢？利用对称的性质即可。
抓住垂直和中点
显然直线是由两个点确定的，如果B的对称点确定也就是AB的对称直线确定了。（不喜欢交点A也可以从新找一点求对称点啊） 而且显然，一条直线关于另一条条直线对称，所得直线的斜率只跟他俩的斜率有关啊？所以可以得到一下斜率关系（记不住就别记了）。也就是知道两个斜率就可以直接求第三个斜率。（不知道公式也可以先求对称点再确定直线啊）
暴力建系，解析法： 有了关于一次函数的这些知识，以后在做几何问题的时候（计算），可以采用建立坐标系的方法。这种方法的特点是，暴力无脑，不需要多想，但是计算比较麻烦。适用于每个点做标都能求出来的几何题（必须直线型问题，圆是够呛的）。 有的人很鄙视这种方法，觉得它破坏了几何之美，太无脑了。也有人把他当做制胜的法宝。其实自己建立做标系是多数教材都有的内容，只不过大多是建系解决位置实际问题，没有用在几何问题上。其中蕴含的解析几何思维在初中是比较新鲜的，（高中就很常见了）。仁者见仁智者见智，这个方法好与不好，您自己说了算。 06反比例函数的几何性质 （封面图）
面积性质
这几个面积性质应该是一目了然，注意动点在两支上的性质是一样的，后面的性质更能题现。
都是面积相等
稍稍的等量代换面积依然相等
平行关系
如图，双曲线上任意两点（可同支可异支），向坐标轴分别做垂线段，连接垂足（一个属于x轴一个属于y轴）垂足连线平行与两点的连线（后面会用）。这一点可以设两点做标导出成比例即可证明平行（太简单我就不写了）。 如下同支：
如下异支：
通过设点坐标的方法可以更好的体会，为啥在不在同支都是成立的，因为点坐标是不区分再哪一支的。所以得到的成比例是始终成立的，从解析式的角度理解，虽然双曲线是两部分，但是解析式是一样的，所以两支虽型分离其实是一个整体。 线段关系 031
AD=BC恒成立
第一次看到这个结论我有点不敢相信自己的眼睛，确实有点神奇，还是双曲线上两个点（不论同异支），他们和他们的连线与做标轴交点的距离相等。
证明如下用到了刚才的平行结论了。
由平行显然三个三角形全等，结论成立。（下图为同支）
由平行显然三个三角形全等，结论成立。（下图为异支）
032
图中条件：A，M为中心对称点（可看做正比例函数交点），过A做垂线AF，连接FM并延长交双曲线与点N则，结论：AN=NF=FP=PM
简证：（无需辅助线），显然O为AM中点，P为FM中点（中位线），PF=PM。由上边的031得FN=PM。N和P的横坐标互为相反数，N的横坐标为A的一半，AF垂直于Y轴，所以NF=NA。证毕 033
AF垂直于Y轴，做AF的中垂线分别交于点Q，E则AEFQ为菱形。 设A点做标，易得AF，QE互相垂直平分，结论显然成立。 角度关系 041
如图四边形ABST为平行四边形，则图中所标的同色角相等。
再想他怎么证明的时候我是先想这个平行四边形怎么画出来的。A，B确定这个平四就应该确定了。 证明：如下图A，B分别做垂线，由平行四边形可得，三角形SBE与三角形ATH全等。若设A，B做标，可得HD=EB=x(B),ES=AH=y(A) .
042
ABST为平行四边形则STWV为菱形。
如下图：由刚才041得ATD，BCS皆为等腰三角形。又因为平四AT平行于SB，AB平行于ST。所以：BVD，ACW皆为等腰，进一步SVT，TSW皆为等腰，且SV与TW平行，所以STWV是菱形。
043
如图A，M为中心对称点，A，B为同支任意两点，连接BM。连直线AB，交点如图，则标同色的角相等
证明如下图，取AB中点M，由041得M也是CD中点，在Rt三角形OCD中（斜边中线）显然，MOD，MOC皆为等腰。MO平行于BM（中位线），所以BED，BCZ为等腰，证毕。
可以发现这个方法也能用来做041里的平行四边形。再找B 的中心对称点B'，连接AB'交x轴的点就是平四的另一个顶点。
032其实也属于这个情况的特殊情况，延长直线后依然是有等腰的只是没画出来。
我们发现02平行，031相等线段在后面的性质证明中发挥了重要作用，所以要主记这两个性质。 07二次函数的几何性质 昨天说了高宽比今天总结一下二次函数与几何相关的性质。 高宽比 所谓“高宽比” 其实就是函数上两点之间的“铅锤高”和“水平宽”之比。在一次函数中，高宽比基本可以看做高中的斜率。初中的时候也可以适当的介绍。 借助GGB（GeoGebra从“0”基础到入门精通教程01-09+实操案例整合版）软件，探究下二次函数的高宽比是什么样的？
取一个顶点和其他任意点，高宽比并不是常数，根据过原点的二次函数解析式易得，高比宽方才为定值（就是二次项系数a）。并且可以推广平移至任何的二次函数图像。 如下图；注意观察，a变化但是BC/OC方始终等于a.并且可以推广平移
平移：
B变换位置比值BC/OC方依然不变，平移后依然成立
如果不取顶点而是任意两个点的高宽比和高/宽方，那么这两个比值都会随着点D，E的变化而变化。
如果让其中一个和顶点重合此时，再移动另一个点，比值就不会再变了，而是始终等于a.
综上我们得出结论，二次函数存在高比宽方，当其中一个点是顶点的时候，高比宽方为a(二次项系数),当两个点都不是顶点的时候，高比宽（方）的值，与两个点的横坐标有关.(到底有什么关系？其实可以设点做标计算)
平行弦的性质 首先要知道什么叫二次函数里的弦，其实就是曲线上两点的连线。它有什么样的性质呢？ 如下图k确定的一组直线系，和二次函数交于两点形成弦，弦的中点横坐标是不变的，注意这就说明了k固定的直线系和二次函数的交点组成的弦的中点横坐标不受b的影响。
这样一来我们平移这组（条）直线，两个交点必然是越来越近，总有一个时刻，两交点重合也就是相切的时候，此时显然中点也和两个点重合了。 也就是说切点的横坐标就是弦中点的横坐标。
想一想是不是可以解决三角形面积最大值问题。已知AB在AB下方的函数图像找一点C使得三角形ABC面积最大，这个C是切点的时候面积最大（AB看做底高最大）（也可以看做铅锤高最大（下文）），如果A，B做标已知可以快速算出C的做标。
如下图同样设点做标易得证。
二次函数内接三角型面积公式
其实就是割补的一种，叫做宽高法，可以选任意两点水平距离为水平宽，第三点做竖直线与刚才两点所在直线交点的距离为铅锤高。 第一种：
第二种：
第三种：
各种变化都是一样道理：
如下图，这里因为三个点都在抛物线上，所以水平宽和铅锤高还有一个特别的关系：看到了么？用汉字叙述不太好说，我就不打字了，大家可以自己试着用汉语叙述一下。
这样一来，宽高公式可以写成下面这样： 通过公式我们可以看出，抛物线内接三角型的面积，和a有关，还和三点的水平相对位置有关，（也就是和b,c都没关系）具体来说就是其中一个点和另外两个点的水平距离有关（即公式中的MQ，MN，特别注意下图是用A做垂直找铅锤高，换成B，C也是可以的）
简证：
为啥和b,c 没关系，因为a决定了抛物线的大小（注意是大小不是形状，为什么不是形状一会在下面会说（抛物线都相似）），b,c只能决定抛物线的位置（不改变大小和形状）。 (插播)a,b,c对抛物线的影响 如下图a对图像的影响：
如下图b对图像的影响：
如下图c对图像的影响：
什么！？ b 的影响你没看清，我们追踪一下顶点再看看下图： b变化时，每一个点的轨迹都与抛物线自身形状相同，且倒映在水面。。。
抛物线都相似？？？ 我第一听说的时候也是大吃一斤，还百度了一下：
怎么看也不像相似。
加上辅助线再隐去一部分：
看着还不行，换个地方试试看看：
是不是舒服多了：
再换一个地方看看：
从理论角度分析一下：c具有任意性，所以对于任意的对应的点就都成立了啊。
“知识”这个东西非常的神奇，你把它分享出去，它不但不会减少，反而会增加，所分享知识应当是快乐的，也能够让自己提升，这就是我每天分享知识的信念。 （感谢 分享转发、右下角：点“在看”） |
|
|
