高中数学：一道向量问题的多角度分析

如下图，与的夹角为150°，与的夹角为30°，，用表示。

分析1：由平面向量的基本定理，设，通过构造数量积，列方程解得。

解法1：设（），两边同时乘以向量得。

∴。

由已知得，即。①

而与的夹角为150°－30°=120°，同理在等式两边同时乘以向量得。

∴

由已知得，即。②

由①②可得：

分析2：把向量在与方向上分解，构造平行四边形，借助正弦定理求得（如下图所示）。

解法2：以与所在直线为邻边，为对角线作平行四边形，则。由已知，且（），与同向，与同向，所以，。

由正弦定理得：，即。

，可得

分析3：向理可以用坐标表示，因此可建立直角坐标系，转化为坐标运算。

解法3：如下图所示，以O为原点，方向为x轴建立直角坐标系xOy，得A（1，0），B（cos150°，sin150°），C（5cos30°，5sin30°）。

由，得（5cos30°，5sin30°）=（1，0）+（cos150°，sin150°）。

，即

，可得。

上述三种解法，虽然一目了然，但繁简不一。一道向量问题通过多角度的认识，使思维的方法与知识的应用各不相同。一题多思，值得同学们尝试，它有益于知识的对比，更有利于思维批判性的养成。

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