如何用一题多解来训练自己的思维能力？(下)

（二）为什么要一题多变？

一题多变是高效提升解题能力的重要方法，通过把问题进行变化可以帮助学生：

（1）更深入地理解问题及其结构特征，

（2）更清楚地了解不同问题的异同点，

（3）学会解构问题、拓展问题、设计问题。

我们还是以上一文的经典题为例来体会一题多变的好处。

原题：如图，AM∥BN，求∠APB、∠PAM、∠PBN三个角之间的数量关系。

一、动点不同位置的分类，让视野更全面、思维更严谨。

变1.已知：AM∥BN，若P点是平面内一点，可以分为几类？∠APB、∠PAM、∠PBN三个角之间的数量关系如何？

观察发现，所有的不同类别实际上是P点分别位于三条直线AM、BN、AB所分成的6个区域，可以得到6个关系式：

①∠APB=∠PAM+∠PBN，

②∠APB+∠PAM+∠PBN=360°，

③∠APB=∠PBN-∠PAM，

④∠APB=∠PAM-∠PBN，

⑤∠APB=∠PAM-∠PBN，

⑥∠APB=∠PBN-∠PAM。

其中③与⑥、④与⑤相同。若P点在区域的分界线上，则可以同时满足两个区域的关系式。

二、迁移不同分类的解法，体验数学方法的和谐统一。

研究各种情况的解法，我们发现，虽然P点处于不同位置，但构造辅助线的方法及解题思路可以相互借鉴迁移。

三、增加问题元素的数量，理解变与不变的辩证统一。

变2.如图，AM∥BN，若增加P点个数，当变成2个点，3个点，n个点时，∠A、∠B、∠P₁、∠P₂、∠P₃、…∠P_n之间的数量关系如何？

探究发现∠A+∠B+∠P₁+∠P₂+∠P₃+…∠P_n=(n+1)·180°，它们的和随着点的个数变化而变化，但求解的方法是不变的、可迁移的。

变3.还可以变成如下图形，仍然可以沿用前面的方法解决。

四、改变问题元素的性质，感悟变与不变的根本原理。

变4.改变射线BN的方向，如下图，AM∥BN，∠P、∠A、∠B三个角之间的数量关系如何？

变5.让射线AM与BN相交于C点，这时会多出一个角，如下图，∠P、∠A、∠B、∠C四个角之间的数量关系如何？

由上面的探究，我们可以概括此类问题的结构特征及一般方法：

（1）问题结构：与平行线、多边形有关的角度关系问题。

（2）一般方法：找出角的关系，建立一个等式，换掉不要的，替上所需的。

若条件无法直接利用，则构造平行线或多边形建立角的联系。

方法运用举例：

举例1.如下图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6

找出角的关系：∠α=∠1+∠2,  ∠β=∠3+∠4,  ∠γ=∠5+∠6

建立一个等式：∠α+∠β+∠γ=360°

等量代换：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°

举例2.如图，AD、AE分别是ΔABC的角平分线和高，∠B>∠C，试求∠DAE与∠B、∠C的关系。

找出角的关系：∠B+∠BAE=90°,  ∠C+∠BAE=90°,  ∠BAC=180°-∠B-∠C,  ∠BAD=∠CAD=1/2 ∠BAC

建立一个等式：∠DAE=∠BAD-∠BAE 或 ∠DAE=∠CAE-∠CAD

等量代换：∠DAE=∠BAD-∠BAE=1/2 ∠BAC-(90°-∠B)=1/2(180°-∠B-∠C)-(90°-∠B)=1/2 (∠B-∠C)

或 ∠DAE=∠CAE-∠CAD=(90°-∠C)-1/2 ∠BAC-=(90°-∠C)-1/2(180°-∠B-∠C)=1/2 (∠B-∠C)

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