14．1.1　同底数幂的乘法

14．1　整式的乘法

14．1.1　同底数幂的乘法

1．掌握同底数幂的乘法的概念及其运算性质，并能运用其熟练地进行运算；

2．能利用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题．

重点：同底数幂乘法的运算性质．

难点：同底数幂乘法的运算性质的灵活运用．

一、自学指导

自学1：自学课本P95－96页“问题1，探究及例1”，掌握同底数幂的乘法法则，完成下列填空．(7分钟)

1．根据乘方的意义填空：

(－a)²＝a²，(－a)³＝－a³；(m－n)²＝(n－m)²；(a－b)³＝－(b－a)³.

2．根据幂的意义解答：

5²×5³＝5×5×5×5×5＝5⁵；3²×3⁴＝3×3×3×3×3×3＝3⁶；a³·a⁴＝(a·a·a)·(a·a·a·a)＝a⁷；a^m·aⁿ＝a^m＋n(m，n都是正整数)；a^m·aⁿ·a^p＝a^m＋n＋p(m，n，p都是正整数)．

总结归纳：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)

1．课本P96页练习题．

2．计算：(1)10·10²·10⁴；(2)x^2＋a·x^2a＋1；(3)(－x)²·(－x)³；(4)(a＋1)(a＋1)².

解：(1)10·10²·10⁴＝10^1＋2＋4＝10⁷；

(2)x^2＋a·x^2a＋1＝x^{(2＋a)＋(2a＋1)}＝x^3a＋3；

(3)(－x)²·(－x)³＝(－x)^2＋3＝(－x)⁵＝－x⁵；

(4)(a＋1)(a＋1)²＝(a＋1)^1＋2＝(a＋1)³.

点拨精讲：第(1)题中第一个因式的指数为1，第(4)题(a＋2)可以看作一个整体．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)

探究1　计算：(1)(－x)⁴·x¹⁰；(2)－x⁴·(－x)⁸；(3)1000×10^a×10^a＋1；(4)(x－y)·(y－x)³.

解：(1)(－x)⁴·x¹⁰＝x⁴·x¹⁰＝x¹⁴；

(2)－x⁴·(－x)⁸＝－x⁴·x⁸＝－x¹²；

(3)1000×10^a×10^a＋1＝10³·10^a·10^a＋1＝10^2a＋4；

(4)(x－y)·(y－x)³＝－(y－x)·(y－x)³＝－(y－x)⁴.

点拨精讲：应运用化归思想将之化为同底数的幂相乘，运算时要先确定符号．

探究2　已知a^m＝3，aⁿ＝5(m，n为整数)，求a^m＋n的值．

解：a^m＋n＝a^m·aⁿ＝3×5＝15

点拨精讲：一般逆用公式有时可使计算简便．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)

1．计算：(1)a·a²·a⁴；

(2)x·x²＋x²·x；

(3)(－p)³·(－p)²＋(－p)⁴·p；

(4)(a＋b)^2m(a＋b)^m＋1；

(5)(x－y)³(x－y)²(y－x)；

(6)(－x)⁴·x⁷·(－x)³.

解：(1)a·a²·a⁴＝a⁷；

(2)x·x²＋x²·x＝x³＋x³＝2x³；

(3)(－p)³·(－p)²＋(－p)⁴·p＝(－p)⁵＋p⁴·p＝－p⁵＋p⁵＝0；

(4)(a＋b)^2m(a＋b)^m＋1＝(a＋b)^3m＋1；

(5)(x－y)³(x－y)²(y－x)＝－(x－y)³(x－y)²(x－y)＝－(x－y)⁶；

(6)(－x)⁴·x⁷·(－x)³＝x⁴·x⁷·(－x³)＝－x¹⁴.

点拨精讲：注意符号和运算顺序，第1题中a的指数1千万别漏掉了．

2．已知3^a＋b·3^a－b＝9，求a的值．

解：∵3^a＋b·3^a－b＝3^2a＝9，∴3^2a＝3²，∴2a＝2，即a＝1.

点拨精讲：左边进行同底数幂的运算后再对比指数．

3．已知a^m＝3，a^m＋n＝6，求aⁿ的值．

解：∵a^m＋n＝a^m·aⁿ＝6，aⁿ＝3，∴3×aⁿ＝6，∴aⁿ＝2.

(3分钟)1.化归思想方法(也叫做转化思想方法)是人们学习、生活、生产中的常用方法．遇到新问题时，可把新问题转化为熟知的问题，例如(－a)⁶·a¹⁰转化为a⁶·a¹⁰.

2．联想思维方法：要注意公式之间的联系，例如看到a^m＋n就要联想到a^m·aⁿ，它是公式的逆用．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)