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圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .  一、圆的切线的判定及相关计算 1.如图，以 △ABC 的边 AB 为直径作 ⊙O，与 BC 交于点 D，点 E 是弧 BD 的中点， 连接 AE 交 BC 于点 F，∠ACB＝2∠BAE . 求证：AC 是 ⊙O 的切线．  例题1图 【分析】连接 AD，利用等弧所对圆周角相等及 ∠ACB＝2∠BAE 可得到 ∠BAD＝∠BCA， 再结合直径所对圆周角为直角即可得证． 证明：如解图，连接 AD.  例题1解图 ∵ 点 E 是弧 BD 的中点， ∴ 弧 BE ＝ 弧 DE， ∴ ∠1＝∠2 . ∵ ∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1， ∴ ∠ACB＝∠BAD. ∵ AB为 ⊙O 直径， ∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴ ∠DAC＋∠C＝90°. ∵ ∠C＝∠BAD， ∴ ∠DAC＋∠BAD＝90°. ∴ ∠BAC＝90°，即 AB⊥AC. 又 ∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴ AC 是 ⊙O 的切线． 证明切线的常用方法： 1．直线与圆有交点，“ 连半径，证垂直 ”． (1) 图中有 90° 角时，证垂直的方法如下： ① 利用等角代换： 通过互余的两个角之间的等量代换得证； ② 利用平行线性质证明垂直： 如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可； ③ 利用三角形全等或相似： 通过证明切线和其他两边围成的三角形与含 90° 的三角形全等或相似得证． (2) 图中无 90° 角时： 利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线， 再根据 “ 三线合一 ” 的性质得证． 2．直线与圆无交点，“ 作垂线，证相等 ”． 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是 △ABC 的外接圆，点 D 在 ⊙O 上，且弧 AD＝弧 CD , 过点 D 作 CB 的垂线，与 CB 的延长线相交于点 E，并与 AB 的延长线相交于点 F . (1) 求证：DF 是 ⊙O 的切线； (2) 若 ⊙O 的半径 R＝5，AC＝8，求 DF 的长．  例题2图 【解析】 (1) 证明：如解图，连接 DO 并延长，与 AC 相交于点 P.  例题2解图 ∵ 弧 AD = 弧 CD， ∴ DP⊥AC. ∴ ∠DPC＝90°. ∵ DE⊥BC， ∴ ∠CED＝90°. ∵ ∠C＝90°. ∴ ∠ODF＝90°，而点 D 在 ⊙O 上， ∴ DF 是 ⊙O 的切线； (2) 解：  例题2解图 ∵ ∠C＝90°， R＝5， ∴ AB＝2R＝10. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 . ∵ ∠DPC＋∠C＝180°， ∴ PD∥CE. ∴ ∠CBA＝∠DOF. ∵ ∠C＝∠ODF， ∴ △ABC ∽ △FOD. ∴ CA / DF = BC / OD , 即 8 / DF = 6 / 5 , ∴ DF = 20 / 3 . 类型二、切线性质的相关证明与计算 3.如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的弦，过点 B 作 ⊙O 的切线 DE， 与 AC 的延长线交于点 D，作 AE⊥AC 交 DE 于点 E . (1) 求证：∠BAD＝∠E； (2) 若 ⊙O 的半径为 5，AC＝8，求 BE 的长．  例题3图 【解析】 (1) 证明： ∵ ⊙O 与 DE 相切于点 B，AB 为 ⊙O 的直径， ∴ ∠ABE＝90°. ∴ ∠BAE＋∠E＝90°. 又 ∵ ∠DAE＝90°， ∴ ∠BAD＋∠BAE＝90°. ∴ ∠BAD＝∠E； (2) 解：如解图，连接 BC.  例题3解图 ∵ AB 为 ⊙O 的直径， ∴ ∠ACB＝90°， ∵ AC＝8，AB＝2 × 5＝10 . ∴ 在 Rt△ACB 中，根据勾股定理可得 BC = 6 . 又 ∵ ∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E， ∴ △ABC ∽ △EAB . ∴ AC / EB = BC / AB , 即 8 / EB = 6 / 10 , ∴ BE＝40 / 3 . 4.如图，⊙O 的半径 OA＝6，过点 A 作 ⊙O 的切线 AP，且 AP＝8，连接 PO 并延长， 与 ⊙O交于点 B、D，过点 B 作 BC∥OA，并与 ⊙O 交于点 C，连接 AC、CD. (1) 求证：DC∥AP； (2) 求 AC 的长．  例题4图 【解析】 (1) 证明： ∵ AP 是 ⊙O 的切线， ∴ ∠OAP＝90°. ∵ BD 是 ⊙O 的直径， ∴ ∠BCD＝90°. ∵ OA∥CB， ∴ ∠AOP＝∠DBC， ∴ ∠BDC＝∠APO. ∴ DC∥AP； (2) 解： ∵ AO∥BC，OD＝OB，  例题4解图 ∴ 如解图，延长 AO 交 DC 于点 E，则 AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝ 1/2 CD. 在 Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10. 由 (1) 知，△AOP∽△CBD， ∴ BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即 12/10 = BC/6 = DC/8 , ∴ BC = 36/5 , DC = 48/5 . ∴ OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 , 在 Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 . 5.如图，AC 是 ⊙O 的直径，AB 是 ⊙O 的一条弦，AP 是 ⊙O 的切线． 作 BM＝AB，并与 AP 交于点 M，延长 MB 交 AC 于点 E，交 ⊙O 于点 D，连接 AD. (1) 求证：AB＝BE； (2) 若 ⊙O 的半径 R＝5，AB＝6，求 AD 的长．  例题5图 【解析】 (1) 证明： ∵ AP 是 ⊙O 的切线， ∴ ∠EAM＝90°， ∴ ∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又 ∵ AB＝BM， ∴ ∠MAB＝∠AMB， ∴ ∠BAE＝∠AEB， ∴ AB＝BE； (2) 解：如解图，连接 BC. 例题5解图 ∵ AC 是 ⊙O 的直径， ∴ ∠ABC＝∠EAM＝90°， 在 Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB， ∴ △ABC∽△EAM， ∴ ∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即 10/2 = 8/AM , ∴ AM = 48/5 . 又 ∵ ∠D＝∠C， ∴ ∠D＝∠AMD. ∴ AD＝AM＝ 48/5 . |
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