初中数学——换元法解题

提要

换元法是一种重要的思想方法，它在初中数学有着广泛的应用。换元法的基本思想是引进新的变量，把一个复杂的数学问题转化为若干个简单的数学问题。只要把这些简单问题一加一解决，就可以使原来的复杂问题得到解决。因此换元法可以把问题化难为易，化繁为简，化未知为已知，并且能够开拓思路，获得运算的技能技巧。

知识全解

一．换元法的概念

我们在解决某些数学问题时，根据问题的特征或关系引进适当的辅助元来替换原问题中的数、字母或式子等，从而使原问题变得简单易解。这种通过用变量替换来解决问题的方法就叫作换元法。

换元法的指导思想是转化，通过换元转化，可以把分散的条件集中或联系起来，使问题的特征更加突出，使隐含的关系变得明显，可以把一个繁难的问题转化为简易的问题，把一个陌生的问题转化为熟悉的问题。

二．用换元法解题的常用方法技巧和一般步骤

常用的方法技巧：1.整体换元；2.平方关系换元；3.倒数关系换元；4.局部换元；5.平均数换元；6.对称关系换元；7.常值换元；8.比值换元

一般步骤：1.设新元，即根据问题的特点和关系，引进适当的辅助元作为新元；2.换元，用新元去代替原问题中代数式或旧元；3.求解新元；4.将解出的新元代回所设的换元式，求解原问题的未知元。

使用换元法的关键在于换元式的确定，这要视具体问题而定。但是，换元式的确定有一些基本原则，即换元后要使原式降次，整式化（去分母），有理式（去根号）等，从而使某些数量关系明朗，使所得新的代数式或方程等易于求解。

三．换元法的解题策略

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的整式背景中去研究。

学法指导

类型1 均值换元

类型2 比值换元

【点评】当题目中含有比例式或经过变形可以得出比例式时，就可以设它们为辅助元，再进行计算或求解。

类型3 自身换元

例3 化循环小数2.13为分数

【解析】设x=2.13，则10x=21.3 ①

100x=213 ②

②-①,得100x-10x=213-21.3

即99x=192

【点评】将循环小数化为分数本是高中数列部分的内容，然而，我们应用自身换元法，就可将其转化为一元一次方程来解。

类型4 常数换元

例4

计算：

【点评】本题的特点是数学上出现较多的重复之处，因此采用数字换元后，易找出数字之间的关系。

链接中考

考点1 利用换元法解方程组

【点评】本题若从已知条件解出x和y的值，显然非常困难，甚至无法进行，但注意到方程组结构特点，根据题目中的条件，利用换元法找出两个方程组解之间的关系，从而解决问题。

考点2 利用换元法比较大小

【点评】本题通过字母表示数，利用换元法将两个繁难的有理数的大小比较转化为分式的计算，简单方便。

考点3 利用换元法化简二次根式

【点评】 本题抓住二次根式的结果特点，巧妙利用换元法，使复杂的二次根式化简问题变得简单。