作者:蔡聪明 来源:http:///4413.html 泰勒展式 (Taylor expansion) 的剩余项救人一命! 在俄国革命期间(1917年左右),数学物理学家塔姆 (Igor Tamm) 外出找食物,在靠近敖德萨 (Odessa) 的乡间被反共产主义的保安人员逮捕。保安人员怀疑他是反乌克兰的共产主义者,于是把他带回总部。
头目心存怀疑,拿着枪,手指扣着扳机,对准他。手榴弹也在他的面前晃动。
于是塔姆手指发抖,战战兢兢地慢慢计算,当他完成时,头目看过答案,挥手叫他赶快离开。 塔姆在1958年获得诺贝尔物理奖,但是他从未再遇到或认出这位非凡的头目。 笔者讲授微积分,每教到泰勒定理时,都要顺便说这个故事,让学生警惕一番。 泰勒展开定理就是要利用微分与积分工具,来剖析函数的结构。 假设函数 f 定义在开区间 (a,b) 上,并且 ,当我们知道 f 的资讯越多,对f 的剖析就越精细。 这个资讯包括两方面,一个是 f 的可微分的阶数逐渐提高,这是一种泛泛的条件;另一个是 f 在一点 c 的各阶微分系数的阶数也不断增加,这是在一点(局部)的资讯之逐渐加深。
按上述要领,继续做下去(数学归纳法),我们就得到如下美丽的泰勒展开定理。
注:泰勒(B. Taylor, 1685~1731)是牛顿的学生,具有相当的音乐与艺术才华。他为了探求音律之谜,首开其端用微积分来研究弦振动问题(1713年),约一个世纪之后,富立叶(Fourier)分析出现才达于高潮(1807年)。泰勒也研究投影画法的几何学,其美术作品至今仍然被珍藏于伦敦的国家画廊(the National Gallery)之中。 |
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