一个与365天（非闰年）巧合的勾股定理相关方程

• 图注：这个简单的乘法表显示了沿表对角线的前20个完美正方形。奇怪的是，不仅3²+4²=5²，而且10²+11²+12²=13²+14²。 这种关系不仅仅是巧合。

毕达哥拉斯定理（勾股定理）是人们在数学上学到的第一个定理：如果有一个直角三角形，则最长边（斜边）的平方将始终等于其他两个边的平方和。它适用的第一个整数组合是边3、4和5的三角形：3²+4²=5²。 这也适用于其他数字组合，包括：

5、12和13

6、8和10

7、24和25

还有更多。但是3、4和5是特殊的：它们是遵循勾股定理的唯一连续整数。事实上，它们是唯一 一个连续的整数，能让你解出方程a²+b²=c²。 但是，如果在等式两侧允许包含更多的数，例如a²+b²+c²=d²+e²。值得注意的是，有一个且只有一个解决办法：10²+11²+12²=13²+14²。 为什么呢？

• 图注：如果采用任何直角三角形任何两直角边的平方和，它总是等于斜边的平方。但是，这种关系远不止一个简单的方程。

查看毕达哥拉斯定理（勾股定理）最深入的方法之一就是考虑一个在所有边上都有一定长度的正方形：我们称该长度为b。 该正方形的面积为b²，因为该正方形的长度和宽度彼此相乘。如果我们要使a²+b²=c²，并且我们希望a，b和c均为连续数字，那么这对a和c施加了巨大的限制。

这意味着c必须等于（b + 1），而a必须等于（b-1），这是一个方程，我们只需一点代数就可以解决。

（b-1）²+（b）²=（b + 1）²，

b²-2b +1 +b²=b²+ 2b +1

b²-4b = 0。

因此，b必须等于0（这并不有趣）或4，其中4使我们返回我们原来的毕达哥拉斯解决方案3²+4²=5²。

• 图注：在顶部，边“ b”的正方形（蓝色）可以分为四个部分。如果沿边长为“ b-1”（黄色）的正方形的边正确堆叠，则可以绕边长为“ b + 1”（绿色）的正方形，这是说明勾股定理的另一种方法。

但是您也可以以图形方式解决此问题。 如果从四边都是b的正方形开始，则可以将其分解为每条1单位粗的线。 因为一个正方形有4个边，所以您唯一的方法是将这些线添加到一个较小的正方形[在所有边上都是（b-1）]，并以一个更大的正方形结束[在所有边上都是（b + 1） 边]是指如果您有4个边：每边加一条。

上图清楚地显示了如何执行此操作：

• 您将中间方块分成b块，每个块1个单位，
• 您将块堆叠在较小的正方形[大小为a，即（b-1）]周围，
• 然后以更大的正方形结束[大小c，即（c + 1）]。

• 图注：3、4、5个直角三角形是满足毕达哥拉斯定理（勾股定理）的第一组整数，也是唯一满足该方程的连续整数组。

这是唯一可用于方程a²+b²=c²的连续整数的解决方案。如果您将中型正方形放大或缩小，则将错误的线数放置在较小的正方形周围以使其成长为较大的正方形。它根本无法完成，对于a²+b²=c²，连续的整数3、4和5是唯一起作用的整数。

但是，为什么要限制自己只有三个数字呢？ 对于任何奇数个连续整数，您可能会找到满足这种关系的连续整数，例如：

• a²+b²=c²，
• a²+b²+c²=d²+e²，
• a²+b²+c²+d²=e²+f²+g²，

等等。

• 图注：方程10²+11²+12²=13²+14²的答案是，其答案是两边等于365，在这幅1895年的画作中以另一种形式被永生化：”心算术“。

实际上，如果您看一下第二种可能性，其中a²+b²+c²=d²+e²，您会发现只有一个和唯一 一个有效的数字组合：10²+11²+12²=13²+14²。 左边为100 + 121 + 144，总计为365，右边为169 + 196，总计为365。

如果您打算用代数解决这类方程，您仍然可以做到，但是可能要花一些时间。您最终会发现中间数字c必须为12（或0，这又是没有意思的），因此有效的完整方程式为10²+11²+12²=13²+14²。

但是，如果我们从较早以前回到相同的图形方法，则可以以非常直观的方式找到解决方案。

• 图注：同样，如果我们想解构一个正方形，然后使用它将两个较小的正方形变成两个较大的正方形，则需要4个单位将正方形大小调整2，将8个单位将正方形大小调整4。这意味着a 大小为12的正方形可以分别将11和10单位的正方形变成13和14单位的正方形。

像以前一样，我们将采用中间的“正方形”（其所有边的长度均为c）并将其分解为1单位粗的线。 与第一次使用此技巧不同，这次，我们需要使用以下两条线将两个正方形变成更大的正方形：

1. 将较小的正方形[其边为（c-1）]变为较大的正方形[其边均为（c +1）]，
2. 并将甚至更小的正方形[其边全为（c-2）]变成更大的正方形[其边全为（c + 2）]。

与上次一样，要为第一个正方形完成此操作，我们总共需要四条线，每条线的厚度为1单位。但是要在第二个正方形上完成此操作，我们需要4条线，每条线的宽度为2个单位。

• 图注：如果我们想用一个“c”大小的正方形把两个较小的正方形（c-1）和（c-2）变成两个较大的正方形（c+1）和（c+2），我们需要12个单位在这个中等大小的正方形中才能实现。

总而言之，这仅在中间“正方形”的厚度为12个单位的厚度时才有效，这就是为什么我们得到等式10²+11²+12²=13²+14²。 如果您的直线是12单位乘1单位，那么您可以采用其中的4个（4×12 = 48）并将11²转换为13²，因为121 + 48 =169。类似地，您可以采用8条这样的线（8× 12 = 96），然后将10²转换为14²，因为100 + 96 =196。这是方程a²+b²+c²=d²+e²的连续整数的唯一解。

此时，您可能会开始看到一种模式，从数学的角度来看，这总是很有趣的。 如果我们采取下一步并询问继续扩展此方程式以包含更多数字的解决方案，我们将更清楚地看到它。

换句话说，我们如何找到方程式的解，a² + b² + c² + d² = e² + f² + g²？

• 图注：取四个连续的完美平方和，要求它们等于下三个完美平方和，我们可以写下来代表毕达哥拉斯定理（勾股定理）的第三个可能方程。

如果采用类似的方法，那么现在需要将三个较小的正方形变成较大的正方形：

1. 边长为（d-1）的正方形需要变成边长为（d + 1）的正方形，需要四个长度为d的单位，
2. 边长为（d-2）的正方形需要变成边的正方形（d + 2），需要八个单位的长度d，
3. 并且边长为（d-3）的需要变成边的正方形（d + 3），需要十二个长度为d的单位。

假设现在，我们需要中间的“正方形”的长度为4 + 8 + 12 = 24，这给我们带来了我们怀疑应该作为该方程式的解决方案的东西。 如果正确，则21²+22²+23²+24²=25²+26²+27²。 当我们进行数学运算时，我们看到这给了我们441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729，这将进行检出。 双方都等于2030，这意味着它们彼此相等。

• 图注：第三次勾股运算的图形说明是方程a²+b²+c²+d²=e²+f²+g²的解，它说明了为什么24是中间正方形的关键数字。

这些类型的序列在数学中都有一个特殊的名称，可以一直追溯到毕达哥拉斯定理和3²+4²=5²的原始解：毕达哥拉斯（勾股）运算。 序列中的中间数出现的模式一直保持到无穷大，直到它变为4、12、24、40、60、84、112等。因此，如果您想知道下一个序列 满足这些类型的方程式的数字是：

• 36²+37²+38²+39²+40²=41²+42²+43²+44²
• 55²+56²+57²+58²+59²+60²=61²+62²+63²+64²+65²，
• 78²+79²+ ... +83²+84²=85²+86²+ ... +89²+90²，

等等。 看起来像是疯狂的数学巧合实际上具有深刻而直接的解释。

• 图注：有许多方法可以解决和可视化简单的毕达哥拉斯方程，例如a²+b²=c²，但是在以各种数学方式扩展该方程时，并非所有可视化都同样有用。

一年有365天（非闰年），而10²+11²+12²=13²+14²=365。然而，这一数学事实与我们的历法完全没有关系，也与我们的行星绕太阳的旋转和公转没有关系。相反，一年中的天数在这里纯粹是巧合，但数学关系是毕达哥拉斯几何的直接结果，这比代数更容易可视化。

毕达哥拉斯刚开始是a²+b²=c²，它具有3、4和5作为唯一求解它的连续数字。 但是，只要我们愿意，我们就可以扩展它，而且对于每个方程式，我们可以写下奇数个数，只有一个唯一的连续整数解。 这些毕达哥拉斯（勾股）运算有一个聪明的数学结构来控制它们，并且通过了解正方形的工作原理，我们可以了解为什么它们无法以其他任何方式表现。