【七年级】三角形：内角和、外角、外角和定理

在学习几何之后，以平行为基础，参考上篇【七年级】几何开端：从平行线开始，便可继续推导几何图形中的一些结论，比如三角形的角的三个基本结论．

01

内角和定理

三角形内角和定理：三角形内角和为180°．

法1：构造平行线

如图，过点A作BC的平行线，

∴∠B=∠1，∠C=∠2，（两直线平行，内错角相等）

∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠BAC+∠2=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°．

法2：构造平行线

如图，过点A作BC的平行线，并延长BA，

证明过程同法一．

法3：构造平行线

如图，过点A作BC的平行线，

∴∠C=∠1，

∴∠A+∠B+∠C=∠BAC+∠B+∠1=180°．（两直线平行，同旁内角互补）

法4：构造平行线

如图，在线段BC上取一点P，过点P分别作PM∥AB，PN∥AC

∴∠B=∠3，∠C=∠1，∠A=∠PMC=∠2，

∴∠A+∠B+∠C=∠2+∠3+∠1=180°．

虽然列举了4种方法，但其实都是一个思路，构造平行线，将三角形三个内角转化为有特殊位置关系的角组合．

所以我也曾经想过，是否有不用平行的方法来证明内角和为180°？

法5：帕斯卡的做法

三角形内角和等于两个直角三角形内角和减一个平角．

在矩形EFGH中，连接EG，可得△EFG和△EGH形状大小完全相同，故内角和也相同，矩形内角和为360°，所以直角三角形内角和为180°，且对于任意直角三角形都可作如上证明．

∴∠A+∠B+∠C=2×180°-180°=180°．

但这里真的没用平行吗？其实有一个前提我们还并不知晓，为什么矩形的4个角都是直角呢？换句话说，如何画出一个矩形？

参考这个三角形的内角和居然不是180°！本文不再赘述．

02

外角定理

三角形外角定理：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．

在△ABC中，延长BC，∠ACD是三角形的一个外角，则∠A+∠B=∠ACD．

法1：利用内角和定理

∵∠A+∠B+∠ACB=180°，

∠ACD+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B=∠ACD．

法2：构造平行线

如图，过点C作CE∥AB，

则∠A=∠1，∠B=∠2，

∴∠A+∠B=∠1+∠2=∠ACD，

∴∠A+∠B=∠ACD．

03

外角和定理

三角形外角和定理：三角形外角和为360°．

在△ABC中，∠1、∠2、∠3分别是∠A、∠B、∠C的外角，则∠1+∠2+∠3=360°．

法1：利用内角和定理

∠BAC+∠1=180°，

∠ABC+∠2=180°，

∠ACB+∠3=180°，

∴∠1+∠2+∠3=3×180°-180°=360°．

法2：利用外交定理

∠BAC+∠ABC=∠3，

∠BAC+∠ACB=∠2，

∠ABC+∠ACB=∠1，

∴∠1+∠2+∠3=2（∠A+∠B+∠C）=2×180°=360°．

法3：构造平行线

延长BA，过点A作AN∥BC，

则∠2=∠MAN，∠3=∠CAN，

∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠MAN+∠CAN=360°，

∠1+∠2+∠3=360°．

法4：构造平行线

在BC边取一点P，作PM∥AB交AC于M点，作PN∥AC，

∴∠1=∠AMP=∠MPN，

∠2=∠4，∠3=∠5，

∴∠1+∠2+∠3=∠MPN+∠4+∠5=360°．

法5：构造平行线

在△ABC内任取一点P，过点P分别作PM∥AB，PN∥BC，PQ∥AC．

则∠1=∠AMP=∠4，

∠2=∠BNP=∠5，

∠3=∠CQP=∠6，

∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠6=360°，

∴∠1+∠2+∠3=360°．

法6：从旋转的角度来看

BA方向旋转到AC，从AC旋转到CB，从CB旋转到BA，回原方向，旋转一周，

可得∠1+∠2+∠3=360°．

显然法1、2优于法3-5，这就好比从山腰到山顶明显轻松于从山底到山顶，定理的价值就在于我们需要逻辑但不必拘泥于逻辑．

我们以平行作为几何开篇，从“第五公设”出发，开始着手研究我们最熟悉也是最简单的三角形，以平行为基础探究三角形中的结论，摸清两者之间从因到果的关系，不失为一个讲解逻辑推理的好例子．