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一、概念剖析 完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 文字叙述： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍． 口诀： 首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号看前方． 解读： 1、公式左边为完全平方，右边为二次三项式． 2、右边有两项为两数的平方和，另一项是两数积的2倍，且与左边中间的符号相同． 3、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式． 4、(首±尾)2＝首2±2·首·尾＋尾2． 二、基本计算 例1：(－3m＋2n)2 分析： 本题中，首项为负，我们计算时，一般将其转化为正，利用互为相反数的偶次幂相等来转化，也可利用加法交换律． 解答： 原式＝(2n－3m)2 ＝(3m－2n)2 ＝(3m)2－2×3m·2n＋(2n)2 ＝9m2－12mn＋4n2 变式：(－3m－2n)2 分析： 显然，本题只能用互为相反数的偶次幂相等来转化更快，且符号不易出错． 解答： 原式＝(3m＋2n)2 ＝9m2＋12mn＋4n2 例2：(a＋b＋c)2 分析： 本题中是三项的和的平方，我们可以将其中两项作为一个整体，比如a＋b看作公式中的a，c看作公式中的b；也可以a看作公式中的a，b＋c看作公式中的b． 解答： 法1： 原式＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 法2： 原式＝[a＋(b＋c)]2 ＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2 ＝a2＋2ab＋2ac＋b2＋2bc＋c2 变式：(2a－b＋3c)2 分析： 显然，本题将2a－b看作整体更合适． 解答： 原式＝[(2a－b)＋3c]2 ＝(2a－b) 2＋2(2a－b)·3c＋(3c)2 ＝4a2－4ab＋b2＋12ac－6bc＋9c2 例3：1042 分析： 本题中，我们可以把104看成100＋4，则问题转化为用完全平方公式解决． 解答： 原式＝(100＋4)2 ＝1002＋2×100×4＋42 ＝10000＋800＋16 ＝10816 变式：9.92 分析： 本题中，我们可以把9.9看成10－0.1． 解答： 原式＝(10－0. 1)2 ＝102－2×10×0.1＋0.12 ＝100－2＋0.01 ＝98.01 三、技能提升 例1：在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的有，如能，写出化简的结果 (1) (－a＋2b)2 ( ) (2) (b＋2a)(b－2a) ( ) (3) (1＋a)(－a－1) ( ) (4) (－3ac＋b)(3ac－b) ( ) (5) (a2－b)(a＋b2) ( ) (6) ( 100－1)(100＋1) ( ) 分析： 我们把(a＋b)2展开，即可写成(a＋b) (a＋b)，其中，第一个括号中的a，与第二个括号中的a相同，b也相同，可以称其为“两同”，是不是只有“两同”的情况可以用完全平方公式呢？ 不止，如(a＋b)(－a－b)，a与－a，b与－b互为相反数，可以称其为“两反”，我们可以写成(a＋b)[－(a＋b)]，即－(a＋b)2，则“两反”的情况也可以用完全平方公式． 解答： (1)可以，两同，转为(a－2b)2 (2)不可以，一同一反 (3)可以，两反，转为－(1－a)2 (4)可以，两反，转为－(3ac－b)2 (5)不可以， (6)不可以，一同一反 例2：(6m2－5n)(5n－6m2) 分析： 显然，这是一个“两反”形式，所以可以用完全平方公式，注意前面需添负号． 解答： 原式＝－(6m2－5n)2 ＝－(36m4－60m2n＋25n2) ＝－36m4＋60m2n－25n2 变式：(－2n＋m－3p)(2n－m＋3p) 分析： 类似例2，注意前面添负号，去括号时要变号． 解答： 原式＝－(2n－m＋3p)2 ＝－[(2n－m)＋3p]2 ＝－[(2n－m)2＋2(2n－m)·3p＋(3p)2] ＝－(4n2－4mn＋m2＋12np－6mp＋9p2) ＝－4n2＋4mn－m2－12np＋6mp－9p2 例3： 1022－204×2＋4 分析： 本题中，我们关注到整个多项式有3项，其中首项和尾项都是平方形式，可以想到是完全平方公式的展开形式，那么，我们可以逆用完全平方公式简算． 解答： 原式＝1022－2×102×2＋22 ＝(102－2)2 ＝10000 变式：化简求值，(m＋n)2－2(m－n)(m＋n)＋(n－m)2，其中m＝2019，n＝－2 分析： 本题中，我们不难发现，如将m＋n看作整体，2(m－n)(m＋n)看作中间项的2×首×尾，则尾项的底数换成m－n为整体，则整个式子又可看作是完全平方公式的展开形式，直接逆用完全平方公式简算． 解答： 原式＝(m＋n)2－2(m－n)(m＋n)＋(m－n)2 ＝[(m＋n)－(m－n)]2 ＝(2n)2＝4n2 当n＝2时，原式＝4×22＝16 四、知二推二问题 完全平方公式是初一阶段的一个重点，它可以考查配方，可以考查简便运算，而且又是与初三二次函数的基础．我们将完全平方公式进行解剖，可以得到四个重要的代数式，(a＋b)2，(a－b)2，ab，a2＋b2，而且，我们只要知道其中的两个，就能推出另外两个，即知二推二．值得一提的是，这些项的次数都是二次，如果给出的式子是(a＋b)，(a－b)，则需要先去平方，使之变为二次． 例1：已知(x－y)2＝3，(x＋y)2＝7，求xy，x2＋y2 分析： 本题可以直接运用知二推二的公式，两式相加÷2或两式相减÷4． 解答： 例2：已知a－b＝7，ab＝3，求(a＋b)2的值． 分析： 我们所说的“知二推二”，知道的都是二次项，而给出的a－b是一次项，因此，要想到先平方，变为二次． 解答： (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab ＝72＋4×3＝61 变式：已知a－2b＝4，ab＝6，求a＋2b的值 分析： 与上例类似，我们要平方，但需要注意的是，两式子的结果相差了几ab，最后计算时，别忘了把二次降为一次，注意两解． 解答： (a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2 (a－2b)2＝a2－4ab＋4b2 ∴(a＋2b)2＝(a－2b)2＋8ab＝16＋48＝64 a＋2b＝±8 五、配方法综合运用 例1：若a、b满足 a2＋b2－4a＋6b＋13＝0，求代数式(a＋b)2019的值． 分析： 本题中，我们注意到等式左边有五项，其中有两项可以看作首平方，则－4a，6b可以看作2×首×尾，那自然想到把13拆成两个尾平方，这样的方法叫配方法．通常将其中一项(一个数)拆成两个完全平方项(数)，凑两个完全平方式，使之变成0＋0型． 解答： a2＋b2－4a＋6b＋13 ＝a2－4a＋4＋b2＋6b＋9 ＝(a－2)2＋(b＋3)2 ∴(a－2)2＋(b＋3)2＝0，a＝2，b＝－3，∴原式＝－1． 变式：若x、y满足x2＋4y2＝6x－16y－25，求代数式xy 的值． 分析：本题可以与例题一样如法炮制，但需要先移项． 解答： 由题意得，x2－6x＋4y2＋16y＋25＝0 x2－6x＋9＋4y2－16y＋16＝0 (x－3)2＋(2y＋4)2＝0 例2：4x2－kx＋81是完全平方式，求k． 分析： 本题中，－kx作为中间项，要注意是2首尾的形式，同时，不要忘了两解． 解答： 原式＝(2x±9)2 ＝4x2±36x＋81 ∴k＝±36 变式：16x2＋9添一项整式是共三项的完全平方式，求要添的项 分析： 要使多项式变为完全平方式，则必须为首2±2×首×尾＋尾2形式，那么，要添加的整式就可以放在首2，2×首×尾，尾2三个位置上，但是，要注意，添加的代数式是否为整式． 解答：
思考题： 答案详见下一讲 |
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