两个重要极限与两个重要常数

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学过高等数学，就一定知道有两个著名的极限：

第二个极限就是著名常数e，之前我讲过很多次。与e齐名甚至更著名并且极为古老的常数当然是π。现在人们经常讨论自己更喜欢哪一个常数，e还是π，我则两者都喜欢。有人说π更加属于初等数学，因为它易于理解，而e则属于高等数学，人们不太容易抓住它的本质。那么对这两个数喜爱的偏向，是否可以反映出一个人的数学天赋的高低？我不这么认为。所以关于两者的文章我都写过不少。π看似浅显，实则很深奥，也更加有趣；e看似很高深，但我的文章也可以把它写得深入浅出。

两个著名且重要极限中，一个明显与e相关，那么我要说另一个极限则与π相关，虽然不很明显。我认为两个重要极限分别联系着两个重要常数，这真的很有趣。经过深入挖掘，今天就来讲一讲这第(1)个极限是怎样与π联系上的。

我们从二倍角公式出发。

我们把上式中用括号括起来的那n个余弦的连乘积单独写出来：

取上式在n→∞时的极限，得

注意，上式中长等号上面就是第一个重要极限：

把上式写成连乘积的形式，就是

这个公式非常有趣，它的左端是无限形式，而右端却是非常简单的有限形式。(1)式这个重要极限在其中起到了非常重要的作用。让α取具体的值（一定要取弧度制，含π的，比如π/4，π/3，π/2），则左端的连乘积中每个因子我们都可以计算出来，而右端是一个实数除以π。于是就可以得到π的无限表达式。我们取α=π/2，计算比较简单，且很有趣。把α=π/2代入上式，便得到

即

即

我们之前讲过上式右端可以写成根式的形式，所以便得到

上式是发现韦达定理的法国数学家韦达（也译作维叶特）的另一成就。

上面的推导过程中，关键的一步就是用到第一个重要极限

我们与之前那期讲π的文章中推导上面2/π公式时用的方法进行比较，发现，有了这个重要极限，推导过程变得简单了，不像上次那样要用到纯几何方法——算面积。但其实，我们在证明这个重要极限时，也是用到初等数学中面积之间的关系。极限的思想成为微积分研究的基础，从而把初等数学提升到高等数学。