作者：王方汉，ID为大罕，男，湖北省武汉市人。中学数学高级教师。全国初等数学研究会常务理事，广东省初等数学学会顾问。曾任《数学通讯》编委，《中学数学》编委。在国家级和省级刊物上发表数学论文三百余篇，曾获全国初等数学研究大会论文一等奖。编著数学书数本，代表著作为《五角星·星形·平面闭折线》（华中师范大学出版社）编者按：大罕（王方汉）老师乃是笔者在网上结识的一名“高士”，虽已退休，然笔耕不辍，仍在从事教学教研工作，其数学诗和《论数学诗和现代数学诗》令人称赞不已。最近在“揽数习文群”里，他又刊出系列短文“怎样把课讲好”，每篇虽短小，但言之有物，文笔轻松、流畅，诙谐幽默风趣的同时字字真心，体现了王老师一生从教之感悟，获得网友好评。上海市著名教师乙尔先生跟帖评论：“《新民晚报》原有《十日谭》，这种形式的文章，即兴而书，文短意深，经验提炼，万人得益。好！”笔者经王老师首肯，汇编于此，与广大网友分享…… 美国数学家哈尔莫斯认为“问题是数学的心脏”。 华罗庚说：“学数学不做题等于入宝山而空返，一无所获。” 要正确快捷地解答数学题，前提是透彻理解数学概念、法则、定理和公式。如果撇开淡化前提，仓促上阵，为解题而解题，则往往知其然而不知所以然，甚至欲速则不达。在充分满足前提这样的基础上，通过解题，掌握必要的数学思想、技能和技巧，相得益彰，从而提高解题的能力。 学生在学习数学的过程中，也会因为误以为数学概念等枯燥无味、没多大作用而加以忽视。如果教师在数学课中，迎合学生心理，偷工减料以节省时间，把数学概念一带而过，公式合盘端出，法则不讲细节，定理不讲适应范围，这样一种本末倒置的教学方法，会给后续教学留下祸根，贻误学生。 从当前普遍存在的急功近利、揠苗助长的教学现象来看，呼吁大家要重视概念教学，此乃正本清源之举措，已刻不容缓了。 举一个例子。在数列极限的教学中，学生提出一个问题：数列{a(n)}的通项a(n)=1/n，它的极限是0，而无穷等比数列{a(n)}当|q|<1时，无穷多项的和a(1)+ a(2)=""> 如果教师对概念理解不透，可能回答得不那么严谨通达，难以让学生释怀。 其实，数列{1/n}的极限为0是指数列：1,1/2,1/3, …,1/n, …的项随着n无限增大而无限接近于0。而无穷递缩等比数列无穷多项的和a(1)+ a(2) +a(3)+…，我们看成数列{S(n)}：S(1), S(2), S(3),…,S(n),…的项随着n无限增大而无限接近于某一个常数(这个常数是a1/(1-q))。我们在计算这个常数(即推导极限公式)时，运用了这样一个想法：先求出S(n)的表达式，S(n)＝[a1/(1-q)](1-q^n)，再求此表达式的极限。由此可见，后者仍然是求数列的极限。不过，这个数列不是{a(n)}，而是{S(n)}。 换句话说，无穷多项的和a(1)+ a(2) +a(3)+…，我们把它看成前n项的和S(n)＝a(1)+ a(2) +a(3)+…+a(n)当n趋近于无穷大时的极限。同时，要明确告诉学生，这里运用了一个崭新的思想：把无穷多项的和看成有限个项的和的极限。然后辅以1/2+1/4+1/8+…+1/2^n+…=1的数学模型加以理解。水到渠成，学生一般会口服心服了。 有四种老师讲课有不同的境界。第一种是深入浅出，第二种是深入深出，第三种是浅入浅出，第四种是浅入深出。意思是明确的，这里不予解释。 记得大学时我的老师教我们函数定义时，基本上照本宣科。这叫深入深出。怎样做到深入浅出，还是我走上讲台之后。 函数极限的定义是：设函数f(x)在点x0的某一中心邻域内有定义，如果存在常数A，对于给定任意小的正数ε，总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<><><><ε，那么常数a就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作lim(x→x0) f(x)=""> 上述定义描述的是当自变量x无限接近x0时，函数值f(x)无限接近某一个常数A的现象。“无限接近”的说法不是很形象吗？这样的定义叫“描述性定义”。描述性定义的缺点是没有精确地量化，故不能计算或证明。仅停留在描述性上，数学岂不成为了文学吗？ 上面这段文字是我授课时的核心想法。以下如何深入浅出地讲“ε-δ定义”，这里就不必详说了。 讲课做到深入浅出，首先是个人对数学内容要有透彻的理解，其次要充分了解受众的心理及难点在何处，最后是琢磨一套讲授的方法和运用什么样的生动活泼的形式。 深入是有相对性的。你认为深入的，懂这个的人认为是浅显的。反之亦然。 又如讲二项式定理的运用，计算(x^2-1/(2x))^9展开式x^9中的系数。我在给基础差的学生是这样讲的：我们分四个步骤完成： 第一步，套公式：T(r+1)=C(9,r) (x^2)^(9-r)[-1/(2x)]^r 第二步，初级整理得 (-1)^r·C(9,r) x^[2(9-r)] ·(1/2)^r·[(x^(-1)]^r 第三步，继续整理得 (-1/2)^r·C(9,r) x^[2(9-r)-r] 第四步，终极整理得 (-1/2)^r·C(9,r) x^(18-3r) . 套公式，初级整理，继续整理，终极整理，这样称谓既自然又亲切，再差的学生也不觉得难了。有时，讲细一点，语言生动一点，也能做到深入浅出。
上一篇随笔发在群里后，引起了大家的兴趣。有群友说：“我倒是想看看大罕如何讲极限理论，他偏不说了，后面的二项式理论兴趣不大，倒讲得特别细…”(作者注：其实你误会了，我是写教学体会，而不是讲数学教学。)还有人说：“这个严格定义是非常难讲的”，“数列极限和函数极限都很难通俗化的”，“能够把极限理论通俗化给高中生讲明白绝对是功夫。很难。所以有兴趣”。 本文较为详细地说说如何讲极限，还是以函数极限为例。注意，下面的内容不是教学实录。 当自变量x无限接近x0时，函数值f(x)无限接近某一个常数A，就称为常数A是函数f(x)在x0处的极限。这是描述性的定义。我想这个定义应该是不难理解的。 两个数的接近，数学上叫“距离”，用此两数的差表示。不计次序则用两数差的绝对值。于是|f(x)-A|就表示函数值f(x)与常数A的“接近”(程度)。 重要的是“无限接近”如何表示？为便于理解，讲课时可用如下递进的三句话表达： 第三句话，接近程度用字母ε（任意小的正数）表示。而且，唯独用字母才能表示任意小，因为任何具体的数，比如0.00000000001，它还是“死的”，不是任意小。也就是说两数差的绝对值要小于ε。 至此，“函数值f(x)无限接近某一个常数A”，就翻译成数学语言：0<><ε> 更难于理解的在后面。函数值f(x)无限接近常数A，一定能做到吗？不会是吹牛的吧？ 哈哈，做得到！在自变量x无限接近x0的过程中就能够做到。 怎样表明你做到了呢？好吧，你给一个ε吧，我就能在“x无限接近x0”的过程中找到一个时刻δ（这实际上是一个数），在这一时刻之后的任何时候，f(x)接近常数A的程度比你给的ε还要小。 x不是无限接近x0么? 是的。那么“接近”用|x-x0|表示，存在时刻δ，“在这一时刻之后的任何时候”，翻译成数学语言就是0<><> 串起来说，我们只要能找到δ，使得当0<><><><> 庆幸的引以自豪的是，这个δ，是可以通过解不等式算出来的。 下面的任务就是通过具体的实例，对上述定义加以理解。按教材即可。 至于数列极限的“ε-N定义”，与函数极限定义本质相同，只是处理起来更方便一点。 上篇谈到了极限的教学。这样细致入微的剖析概念的涵义，在中学数学里是少见的。但是，把每一节课讲得更好，更有成效，则是教师必须以行动交出的答卷。 会教数学则是一种综合的技能，需要较强的组织数学内容、调度课堂节奏的能力，以及较好的语言表达能力，还要有刻苦钻研的精神，和机动灵活的脑子。所以，后者更难些。 一些群里，人们讨论得更多的是如何解难题。笔者并不反对研究难题的解法。不过，需要提醒的是，如果我们仅仅停留在解题层面上（从群里的发言并不能说明这一点），而不注重研究学生，研究如何更画龙点睛地、通俗易懂地诱导学生、示范学生，那么，我们至多是解题的能手，而不是教学的高手。 说到高手，其实，能做到对学生不教而学之，那才叫高手。怎样做到“不教而学之”？调动学生的兴趣热情，创建美妙的数学情景，激发学生的智力发挥，点拨问题的要害，剖析难点而分散之，培养良好的数学习惯，擅长这些的，可能就是最好的教师吧。 有人说，教尖子生难，教差生难。这里要问，教“普通学生”，难道就容易吗？ 把课讲好，前提是不要讲错。口误、笔误总归是误，均要改正。尤其是知识性的错误，一定要郑重纠正。 有群友私信问我：“为什么每次看到函数光滑的曲线什么的，我就想起来它处处可导可积啊…谁能告诉我为什么初中课本讲到函数都是光滑的曲线或者直线连接的啊？？我也可以不光滑啊！！！比如y=(-4)^x这就不是光滑的曲线啊！！！因为它不是连续的啊！！！！但是这种事情，怎么才能和初中生解释呢？？？？ ” 实际上提了三个问题：①什么叫光滑曲线？②函数y=(-4)^x的图像是什么？光滑吗？③怎样对初中生解释光滑？ 第一，函数在某点处的极限就是它的函数值，则称函数在此点处连续。函数在某区间内每一点处都是连续的，则称函数在这区间是连续的。函数的导函数是连续的，则称为函数是光滑的。 第二，函数y=(-4)^x，中学阶段对它不予研究。在高等代数里，函数y=(-4)^x写成y=e^[xln(-4)]的形式。它是连续的、可微的函数。其图像涉及四维空间，是画不出来的。在复数范围内，形如y=z^x(z≠0且z≠1)称为指数函数。y=(-4)^x当然是指数函数。在中学数学里，我们对底数作了“硬性”规定，即在指数函数y=a^x中，规定a>0,且a≠1。这样做，为避免超出中学生的认知范围。 第三，对初中生解释什么叫光滑，可以用日常生活常识加以说明。还可以告诉他们，这在数学上是有严格定义的，大学数学里可以学到它。 学无止境。我们学到的数学知识对于整个数学来说，那就是沧海一粟。不仅我们自己要有自知之明，也要告诉学生：数学并不仅仅中学甚至大学所学的那一点内容。 在教学中，涉及数学的某些结论，如果我们还不懂或不知道，那么在学生面前不要轻易地加以肯定或否定。
|
