数学基本知识：函数的极限

函数的极限

数列极限，是自变量限制在自然数内的特殊函数的极限。现在取消自变量的这种限制，使其可以在整个函数定义域内取值且讨论其相关极限，这就是所谓的函数极限。由于自变量的取值更为自由，将滋生出多种极限的形式。先定义两种函数极限，1）自变量趋于无穷大，2）自变量趋于有限值。

函数极限定义1

设 f(x) 是一个实函数，A是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在X，对于任何x，当|x|〉X时成立|f(x)-A|<ε，则称函数 f(x) 当x趋于无穷大时收敛于A。记为

lim[x→∞] f(x) = A

此定义或表述为

lim[x→∞] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃X,∀x(|x|>X{|f(x)-A|<ε))

函数极限定义2

设 f(x) 是一个实函数，A和x0是两个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在δ，对于任何x，当0<|x-x0|<δ时成立|f(x)-A|<ε，则称函数 f(x) 当x趋于x0时收敛于A。记为

lim[x→x0] f(x) = A

同样，此定义可表述为

lim[x→x0] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃δ,∀x(0<|x-x0|<δ{|f(x)-A|<ε))

这两个定义分别是(ε,X)和(ε,δ)分析表述。

这里需注意不等式0<|x-x0|<δ，这是个去掉x0的以x0为中心半径为δ的开区间（或称领域），称为x0的δ去心领域，即(x0-δ,x+δ)\{x0}。

此外，还需注意上述定义中x→∞是指双向趋于正负无穷大，而x→x0是指左右两侧逼近x0。

为了区分正负无穷大和左右逼近x0，特别定义了单侧极限如下

函数极限定义3

设 f(x) 是一个实函数，A是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在X，对于任何x，当x>X时成立|f(x)-A|<ε，则称函数 f(x) 当x趋于正无穷大时收敛于A。记为

lim[x→∞+] f(x) = A

或表述为

lim[x→∞+] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃X,∀x>X{|f(x)-A|<ε)

设 f(x) 是一个实函数，A是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在X，对于任何x，当x

lim[x→∞-] f(x) = A

或表述为

lim[x→∞-] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃X,∀x

函数极限定义4

设 f(x) 是一个实函数，A和x0是两个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在δ，对于任何x，当x0

lim[x→x0+] f(x) = A

或表述为

lim[x→x0+] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃δ,∀x(x0

设 f(x) 是一个实函数，A和x0是两个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在δ，对于任何x，当x0-δ

lim[x→x0-] f(x) = A

或表述为

lim[x→x0-] f(x) = A ↔ ∀ε>0,∃δ,∀x(x0-δ

单侧极限“x→∞+”和“x→x0+”称为右极限，而“x→∞-”和“x→x0-”称为左极限。单侧极限在连续性分析中相当重要。

如果将上述定义中的不等式|f(x)-A|<ε改为|f(x)|>ε、f(x)>ε和 f(x)<ε，将得到拓广的函数极限，即lim f(x) = ∞、lim f(x) = ∞+和lim f(x) = ∞-。

现在建立数列和函数极限的关系，即海涅定理

函数极限lim[x→x0] f(x) = A存在的充分必要条件是：对于任何满足lim[n→∞] x(n) = x0且x(n)≠x0的数列，相应的函数数列{f(x(n))}成立lim[n→∞] f(x(n)) = A。

证明：

先证必要性。由lim[x→x0] f(x) = A必有∀ε>0,∃δ,∀x(0<|x-x0|<δ{|f(x)-A|<ε))。而由lim[n→∞] x(n) = x0且x(n)≠x0必有∃N,∀n>N(0<|x(n)-x0|<δ)，则|f(x(n))-A|<ε。即lim[n→∞] f(x(n)) = A。

再证充分性。假设lim[x→x0] f(x) = A不成立，则必有∃ε>0,∀δ,∃x(0<|x-x0|<δ{|f(x)-A|>ε))。取δ1，存在x1属于x0的δ1去心领域（即0<|x1-x0|<δ1），有|f(x1)-A|>ε。再取δ2=δ1/2，存在x2属于x0的δ2去心领域（即0<|x2-x0|<δ2），有|f(x2)-A|>ε。类推取δn=δ1/2^(n-1)，存在xn属于x0的δn去心领域（即0<|xn-x0|<δn），有|f(xn)-A|>ε。显然，lim[x→x0] xn = x0，但lim[n→∞] f(x(n)) = A不成立，与条件矛盾。所以必然成立lim[x→x0] f(x) = A。证毕。

类似数列极限中的柯西收敛原理，函数极限中也有相似的收敛原理。

函数极限lim[x→∞] f(x)存在而且有限的充分必要条件是：∀ε>0,∃X,∀x1>X∧∀x2>X(|f(x1)-f(x2)|<ε)。

证明：

先证必要性。设lim[x→∞] f(x) = A，即∀ε>0,∃X,∀x>X(|f(x)-A|<ε/2)。具体设∀x1>X和∀x2>X，有|f(x1)-A|<ε/2和|f(x2)-A|<ε/2。于是有

|f(x1)-f(x2)|<|f(x1)-A|+|f(x2)-A|<ε

即条件满足。

再证充分性。任选趋于正无穷大的数列{x(n)}，即lim[n→∞] x(n) = ∞+。由条件（∀ε>0,∃X,∀x1>X∧∀x2>X(|f(x1)-f(x2)|<ε)）可知，∃N,∀n>N∧∀m>N(x(n)>X∧x(m)>X)，则|f(x(n))-f(x(m))|<ε，即∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|f(x(n))-f(x(m))|<ε)。根据数列极限的柯西收敛原理，数列{f(x(n))}收敛。由于数列{x(n)}的任意性，由海涅定理可知lim[x→∞] f(x)存在且有限。

证毕。

关于函数极限lim[x→x0] f(x)也有类似的收敛原理，在此不详述。

类似数列极限，函数极限也有一系列的性质和运算法则，简列如下：

1）函数极限的唯一性

2）收敛函数的局部有界性

3）收敛函数的局部保序性

4）函数极限的夹逼性

5）函数极限的运算法则

a）lim (a f(x) + b g(x)) = a lim f(x) + b lim g(x)

b）lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)

c) 如果lim g(x) ≠ 0，则lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)