【原】八下11讲期中专题（1）9题突破翻折，最值难题！

数海一叶舟 2021-05-17

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写在前面

下周，多地进入期中考试，本讲，我们对八下中四边形的重点再作一次剖析，主要涉及翻折与最值，下一讲涉及旋转，动点，存在性问题。

例1：

分析：

显然，根据翻折，易知ME＝AM＝1，要求EC的长，需要求出MC的长，我们可以构造直角三角形，利用勾股定理解决，考虑到菱形中有特殊的60°，则可以过点M作CD的垂线，构造特殊的直角三角形．

解答：

例2：

分析：

由于四边形AEDF为平行四边形，则根据对角线互相平分，可知AD与EF交点为AD中点M，且EM＝EF的一半，则问题转化为求EM的最小值，点M为定点，E为AC上动点，则当ME⊥AC时，即为ME最短．

解答：

例3：

分析：

显然，这是一个将军饮马问题，E是定点，P、F为动点，作点E关于定直线AC的对称点E'，连接PE'，当E'、P、F三点共线时，PE＋PF＝PE'＋PF较短，若E'F⊥AB，显然最短，但此时点F在AB延长线上了，则只能使得点F在点B处时最短．

解答：

例4：

分析：

显然，四边形中，CD长度已知，EF长度已知，则周长最小转化为求DE＋CF最小．这是将军饮马的变式，平移型．还是作D关于x轴的对称点D'，将C向左平移3个单位长度到C'，连接D'E，C'E．则DE＝D'E，CF＝C'E，DE＋CF＝D'E＋C'E，当D'、C'、E三点共线时，周长最小．

解答：

例5：

分析：

点E、F分别为DM、MN的中点，则马上想到连接DN，EF为中位线，等于DN的一半，问题转化为求DN的最大值，显然，D为定点，N为AB上的动点，则当N运动到点B处时，DN最大．

解答：

例6：

分析：

根据翻折可知，P为CG中点，Q为HG中点，则QG＝HG的一半，即DC的一半，是定值，第一想法可能是连接HC，求出HC＋GC的最小值，则QP＋PG的最小值可求，但是，这样做会发现，如果将求HG＋GC的最小值看作是将军饮马，作点C关于AB的对称点，但此时H点的位置不定，无法继续．因此，仍考虑直接求QP＋PG的最小值，不妨作点Q关于EF的对称点K，则QP＝KP，且K为CD中点，问题转化为KP＋PG最小值，考虑到P为GC中点，连接PB，则PB＝GC一半＝PG，问题得解．

解答：

例7：

分析：

本题是一个老题，但十分经典，首先，我们要知道A'的位置如何确定，由于翻折过程中，DA＝DA'，则A'应该在以D为圆心，DA长为半径的圆弧上，注意当△BPA'为直角三角形时，要分三种情况讨论．

解答：

例8：

分析：

(1)当R在AB上时，△PBR为直角三角形，由(1)的结论可知，∠BPR＝∠QPR＝∠CPQ＝60°，则∠PRB＝30°，根据折叠的性质PR＝CP＝x，BP的长也可用含x的代数式表示，易知BP＝PR的一半，问题得解；

(2)要分两种情况进行讨论：

①当R在矩形ABCD的内部时，重合部分是△PQR，那么重合部分的面积即是△CQP的面积；

②当R在矩形ABCD的外部时，重合部分是个四边形的面积，如果设RQ，RP与AB的交点分别为E、F，那么重合部分就是四边形EFPQ，其面积为△PQR的面积－△REF的面积．

解答：