二次函数中的定值问题思路探索

二次函数中的定值问题思路探索

随着抛物线上某动点的运动，由它带动的一些量中，有变量自然也有常量，其中的常量，就是经常被考查的定值。寻找变化中的不变量，这原本也是初中函数运用的一个重点内容，通常解法思路是将所要探索的量用字母表示出来，然后寻找等量关系，在恒等变换中消掉多余字母，最终只剩下常数。当然这是思维定势，并不代表所有定值类问题都能由此突破，但作为尝试是可以的，即使失败，从中汲取教训，为下一次成功打下基础。

题目

经过(1,0)和(2,3)两点的抛物线y=ax²+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点(0,-2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，y轴上有点C(0,-3/4)，连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC=t，某同学在探究d-t的值的过程中，思考：当P是抛物线的顶点时，计算d-t的值为___________；当P不是抛物线的顶点时，猜想d-t是一个定值，请你直接写出这个定值，并证明；

(3)如图2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m，n，试证明mn也是一个常数.

解析：

(1)常规二次函数题的“启手式”，作为基本功，一定要迅速解决问题，将两个点坐标代入解析式中，求出参数a和c，结果是y=x²-1；

(2)当点P是顶点时，它的坐标为(0,-1)，此时d=1，t=1/4，于是d-t=3/4；

当点P不是顶点时，不妨设出它的坐标为(p,p²-1)，于是可以表示出d=t²-1-(-2)=p²+1，而PC可利用两点间距离公式求，推导如下：

再来计算d-t=3/4，与P是顶点时完全相同；

(3)从图中我们可以发现，MN与x轴平行，本着'有平行必有相似'的原则，我们可以构造出不同的相似三角形，从而将点M和N的横坐标分别纳入比例式中，因此过点P作l的垂直，分别与x轴，直线l相交于点G、H，如下图：

我们利用两次相似，△PAG∽△PMH，△PBG∽△PNH，分别得到两组比例式，PG:PH=AG:HM，PG:PH=BG:NH，推导如下：

解题反思

本题推导过程较多，对学生的代数恒等变换提出了一定要求，面对一堆参数和代数式，首先要敢于下手，其次目标要明确，不能如无头苍蝇一样乱碰，始终一根主线，即常规思路。

尤其是遇到根号下一堆代数式的情况，多半根号下的式子是可以化为完全平方的，探索时可大胆前进，而在遇到化简出来的结果“相似”时，注意它们之间的联系，不难求出最后的定值。