【原】第二百零八夜：三角形面积的最值

端阳，五月五。

单数为阳，相同为重。

重数难得，所以必须刷题纪念一下。

下题拿去，可大快朵颐，也可细嚼慢咽。

心弦一曲古今同，何必叹秋风？

  

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

  

本题源自于2013年的福建高考（见操作），考查基本不等式与解三角形。对高一的孩子来说，的确有点难。

第一问，没什么好说的。

第二问，选择适当的角参，利用正弦定理将面积表示为角参的三角函数，借助三角函数的有界性即可求得结论。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

  

  

  

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

我猜，你没能做起，也许是无法完成繁琐的计算。你看到了，三角恒等变换不过是中间过程，昙花一现。

【法1】，角参。利用正弦定理表示出OM与ON，代入三角形的面积公式得到关于角参的三角函数，利用有界性求得最值。

方法不难想，但难算，再次印证了“计算不牢，地动山摇”。

【法2】，角参。很明显，法2在计算上远甚于法1，原因是将斜三角形转化为直角三角形。然而，这里只考虑的一种情况，不严谨，剩下的就交给你了。

没有什么是绝对一劳永逸的，赢在了此处，未必不是失去了彼处。

【法3】，极坐标法。法3本质上仍然是角参，与法1并无二致。但在思维层次上，法3远胜于法1，毕竟这是从方程的角度来看待几何的问题。

个人喜欢法3，没有别的原因，就凭极坐标是解析几何的巅峰。

  

4  操作

形同陌路，抑或一见如故