2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题

1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1， 0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点，若 ∠PCB＝∠BCO，求出 P 点的到 y 轴的距离．

【解析】解：

（1）将点 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2+bx+2，

可得 a = -2/3 , b = 4/3 ,

∴ y＝-2/3 x2+ 4/3 x + 2，

（2）存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，

由题得，B（3，0），C（0，2），设 N（1，n），M（x，y），

尚老师数学

【分类讨论】分别以 BC 为边和对角线作平行四边形来讨论，能画出图形是解题的关键！

【对点法求坐标】

Xp = 1/2（Xm + Xb）= 1/2（Xc + Xn）, （坐标中点公式）

①四边形 CMNB 是平行四边形时，1/2 = （3 + x）/ 2，

∴ x＝﹣2，

∴ M（-2，-3/10）；

②四边形 CNBM 是平行四边形时，3/2 = （1 + x）/ 2，，

∴ x＝2，

∴ M（2，2）；

③四边形 CNMB 是平行四边形时，（1 + 3）/2 = x/ 2，

∴ x＝4，

∴ M（4，-3/10） ；

综上所述：M（2，2）或 M（4，-3/10）或 M（-2，-3/10） ；

（3）解

【转化数学思想】

通过转化构造出直角三角形，问题迎刃而解，作出辅助线是解题的关键！

如何作辅助线？一定要结合已知条件（∠PCB＝∠BCO）！

过点 B 作 BH 平行于 y 轴交 PC 的延长线与 H 点．

∵ BH∥OC，

∴ ∠OCB＝∠HBC，

又 ∠OCB＝∠BCP，

∴ ∠PCB＝∠HBC，

∴ HC＝HB，

又 ∵ OC⊥OB，

∴ HB⊥OB，

故可设 H（3，m），即 HB＝HC＝m，

过点 H 作 HN 垂直 y 轴于 N，

在 Rt△HCN 中，则 m2＝3^2 +（m﹣2）2，

解得 m = 13/4 ,

∴ H（3,13/4），

由点 C、P 的坐标可得，设直线 CP 的解析式为：y = 5/12 x + 2 ,

故有 -2/3 x2+ 4/3 x + 2 = 5/12 x + 2 ,

解得 x1＝0（舍去），x2 = 11/8 ,

即点 P 到 y 轴的距离是 11/8 。