【原】空泡的溃灭(1)

Seisman 2020-07-12

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地震地热说原理：知识库13

空泡的溃灭(1)

本文节译自《CAVITATION AND BUBBLE DYNAMICS》by Christopher Earls Brennen © Oxford University Press 1995。此书从网上免费下载。作者只节译自己所需章节，用作公益性科学研究的基础资料，非商业用途。作者不懂节译是否涉及版权问题。如有不当，请专家们指正。谢谢原作者，也谢谢张宇宁先生推荐。 Seisman 2011.8.6 记

3.1 前言

前面的章节提出了一些空泡动力学的方程并在空泡生长方面得到应用，本章将继续讨论空泡动力学问题，但着重溃灭动力学，特别是考虑蒸气填充的空化气泡猛烈崩溃的后果。

3.2 空泡溃灭

空泡的溃灭是一个特别重要的课题，因为可能由溃灭导致的高速，高压和高温会造成噪音和物质损坏。2.4节的分析中所允许的速度，压力和温度（方程2.36，2.38，2.39），是在假定空泡保持球形的参数以内近似估计的。3.5节中将会看到，溃灭的空泡并不能保持球形。此外，在第7章我们还会看到，在空泡流中出现的泡沫往往远非球形。然而，从压力，温度，噪音，或潜在的损害方面来说，球形分析可以给出空泡溃灭可能产生的最大后果。非球形的情形可以弥漫溃灭的焦点，减少可能造成的最大压力和温度。

当从一个小的空泡核生长到其原始大小的好多倍时，溃灭将在最大半径 R_M和气体分压 P_GM下开始。气体分压其实是很小的。典型的空泡流中 R_M大约是原始尺寸 R_O的 100 倍。因此，如果在空泡核内原有的气体分压是 1 巴，则处于崩溃的开始 P_GM的值约为 10^-6巴。如果典型流的压力不高，（P_∞*- P_∞（0））的值，比方说是 0.1 巴，则按照公式2.38所产生的最大压力约为 10¹⁰巴，最高温度将是环境温度的 4 × 10⁴倍！许多因素，包括气体从液体扩散到空泡内，液体可压缩性的影响，减轻了这一结果。然而，计算说明了溃灭时产生高压和高温潜力和可能产生的冲击波和噪声的可能性。

早期关于溃灭的研究主要集中考虑液体的可压缩性，以了解产生的冲击波。Herring（1941）介绍了液体可压缩性的第一级修正，假设溃灭活动的马赫数（dR / dt）/ c远小于 1，而且忽略非凝聚气体或热效应，则空泡内的压力为常数。随后，Schneider（1949）在类似的高度理想条件下，通过数值方法，在溃灭活动对应马赫数（（dR / dt）/ c）小于 2.2 的区间内求解了可压缩流体方程。Gilmore（1952）（也见 Trilling 1952）指出，使用Kirkwood和Bethe（1942）所提出的近似方法可以获得与Schneider的数值结果相一致的解析结果。另外我们注意到，Kirkwood-Bethe 近似方法假定波在液体中的传播速度为声速 c，相对液体的流速为 u。故其在绝对参考框架下的速度为c + u（也见 Flynn1966）。图3.1列出了一些由 Herring（1941），Schneider（1949）和 Gilmore（1952）所取得的成果。这些结果显示出，在理想状态下，空泡表面的马赫数随气泡半径的减小而增加。图中标记为“incompressible”的直线对应于运动方程中忽略液体可压缩性的情形（见式2.36）。由于（dR / dt）与 R ^{- 3 / 2}成正比, 直线的斜率大约为 -3/2。从图中可以发现，液体的可压缩性降低了其溃灭速度。Benjamin（1958）对这一问题也作了研究，探求了对应更高马赫数的情形时方程的解析解。在这种条件下，Kirkwood-Bethe 近似已经变得相当不精确。

当空泡包含某些不可压缩气体或者热效应作用明显时，空泡内的压力不再是常数。这使得该问题的解决方案变得更加复杂。在这种情况下，寻找一种考虑了液体可压缩性影响的修正的瑞利—普莱塞特方程（Rayleigh-Plesset equation）是非常有必要的。 Keller 和 Kolodner（1956）提出了不考虑温度、粘性和表面张力影响的修正形式的方程：

(3.1)

式中，P_c(t) 表示在空泡中心位置在没有空泡时的液体压力的可变部分。此外还有一些其他形式的修正方程。最近，Prosperetti 和 Lezzi（1986）重新检验了这些方程，指出其中的许多方程同样能精确表示马赫数（（dR / dt）/ c）的线性阶。他们还表明，这种经过修正的 Rayleigh-Plesset 方程在马赫数不超过0.3时是相当精确的。而当马赫数数值很高时，则必须用数值方法解算可压缩流体场方程。

图3.1 压力差 P_∞- P_GM为 0.517 巴时，空泡表面的马赫数（-（dR/dt）/c）与气泡半径（相对于初始半径）的关系。图中曲线显示了 Herring（1941）和 Gilmore（1952）方法所做不可压缩分析的结果。Schneider（1949）的数值结果在马赫数小于 2.2 的区间内与 Gilmore的结果基本吻合。

不过，只要有某些能使空泡溃灭减速的气体存在，液体可压缩性对于空泡动力学的影响就会变得微弱，此时它的作用更多地体现在空泡溃灭后反弹阶段内冲击波的形成过程中。Hickling 和 Plesset（1964）利用可压缩流体方程的数值解，首次研究了反弹阶段中压力波或冲击波的形成过程。图3.2是他们结果中的一个例子，显示出在空泡溃灭至最小尺寸的时刻之前（左图）和之后（右图）液体中的压力分布。右图清楚地显示了在空泡溃灭后压力脉冲或冲击波远离空泡的传播情况。Hickling 和 Plesset据图得出结论：压力脉冲大致按照几何发散衰减（r^-1）远离空泡传播。迄今为止，Ivany 和 Hammitt（1965），Tomita 和 Shima（1977），Fujikawa 和 Akamatsu（1980）等人都做了有关的数值计算。Ivany 和 Hammitt（1965）证实，表面张力和粘度对于该过程的影响均不显著。我们将在下一节中讨论其他人的研究成果。

当考虑空泡溃灭过程中的压力脉冲或冲击波时，后续研究的结果与 Hickling 和Plesset（1964）的发现是一致的。在大多数情况下辐射到液体的压力脉冲存在一个峰值压力 P_p，可由下面的表达式给出：

Pp ≈ 100R_Mp_∞/ r (3.2)

图3.2 关于空泡溃灭至最小尺寸的时刻之前（左图）和之后（右图）液体中的压力分布（无粘度或表面张力）的典型结果（Hickling 和 Plesset（1964））。其中参数 P_∞= 1bar，γ= 1.4，泡沫的初始压力为 10^–3 Bar。标示在各条曲线旁的数值与空泡溃灭至最小尺寸之前或之后的时间成正比。

尽管 Akulichev（1971年）发现压力脉冲在远场处的衰减更强，我们仍然可以清楚地发现，方程（3.2）所给出的压力脉冲数量级很大，足以将固体表面冲撞开若干个空泡半径的距离。例如，当 p_∞约为 1bar 时，能在距离为空泡最大半径处（r = R_M）产生一个 100 bar 的大幅脉冲。Fujikawa 和 Akamatsu（1980）在实验中发现，当溃灭空泡与壁体距离为其最大半径时，其对壁体的冲击强度约为 100bar。我们注意到，空泡中气体存在更高的压力状态，不过这些高压状态都是短暂的。以后我们将会讨论这类现象的特征。

上述所有分析都是在球对称的假设下进行的。随后，我们将重点讲述溃灭空泡形状的稳定性，然后再继续讨论空蚀破坏的起源。

3.3 温控溃灭

在研究空泡溃灭最后阶段中的热效应影响之前，我们注意到，如同在2.7节中对于空泡生长所做的讨论一样，热效应在空泡溃灭的早期阶段中同样能起作用。这将改变我们在前面和后面的章节中的大部分讨论结果。如果热效应在空泡溃灭的早期阶段中起了重要作用，那么随后的空泡动力学将成为一种不同的温和性质的温控溃灭。

考虑一个半径为 R₀的空泡，在初始时刻 t = 0 时保持静止，液体压力为 P_∞。增加周围的液体压力到 p_∞* 以使得其发生溃灭。利用 Rayleigh-Plesset 方程，在不考虑热效应的情况下，初始运动可以表示为：

R / R₀ = 1 – P_c t² + O( t³ ) (3.3)

式中 P_c是由下式定义的溃灭动力：

(3.4)

为了考虑 Rayleigh – Plesset 方程中的温度项，将其带入式2.20给出的 Plesset-Zwick方程，我们得到了形成显著的热效应所需的临界时间t_C4：

t_c4 = ( R₀ /Σ)^2/3 (3.5)

这种方法的一个问题是：如果热边界层小于半径 R，当热边界层变厚而半径变小时，Plesset-Zwick 假设很可能不再成立。尽管如此，继续前面的分析，我们可以发现如果满足t_C4 « t_TC（t_TC是溃灭的典型时间（见2.4节）），那么温控溃灭将会在溃灭过程中提早发生。这种情况的出现满足条件

(3.6)

这时初始运动将受到热效应的有效控制，可以用以下形式表示：

(3.7)

式中方括号内的项是一个简单的数量级为1的常量。如果不满足不等式3.6，那么热效应直到溃灭过程的最后阶段才会显现。

3.4 空泡溃灭中的热效应

即使热效应在空泡溃灭前段中的影响可以忽略不计，它在崩溃的最后阶段中仍然发挥了非常重要的作用。在这一阶段中，空泡内的物质因为突涌液体的惯性而高度压缩。事实上，在球形空泡溃灭发生时，空泡内部气体的压力和温度是非常高的。由于溃灭持续的时间非常之小（数量级为微秒），我们可以合理地假设空泡中的不可压缩气体是绝热的。最典型的有关绝热计算的研究工作是由 Tomita 和 Shima（1977）完成。利用最早由 Benjamin（1958）提出的用于精确处理液体不可压缩性的方法，他们计算得出空泡中心的气体最高温度为 8800 ° K。但是，尽管溃灭过程发生的时间很短，Hickling（1963）仍然指出，由于液体和气体之间有着极高的温度梯度和较短的距离，它们之间的热传导现象是很显著的。在以后的计算中，Fujikawa 和 Akamatau（1980）考虑了热传导的影响，在同 Tomiita 和 Shima 的计算条件相似的情况下，得出空泡中心的最高温度和压力分别为 6700 ° K 和 848 bar。在极高的温度梯度状态下界面最高温度大约是 3400 ° K。这些高温高压的存在时间还不到一微秒。例如，经过 2·s 后界面温度就会下降到 300 ° K。

Fujikawa 和 Akamatau（1980）也探讨了空泡壁处的非平衡凝结效应，认为这种效应能够对空泡溃灭起额外缓冲作用。他们对此进行了计算，利用了类似于公式2.65中定义的适应系数。对于 Theofanous 等（1969）对空泡生长的研究，Fujikawa 和 Akamatau 表明，数量级为1的适应系数Λ的影响不明显。如同我们在2.9节中提到的，为了得到明显的观察效果，适应系数的数量级应该达到 0.01。目前尚不清楚在实际过程中是否会出现如此小的适应系数。