中考数学中的几类角度求值问题

求角度与求线段长是几何里面两大基本问题之一。

本文介绍几种类型的角度求值问题，题目选自以下地区：

2019·福建、2019·常德、2019·贺州

2019·扬州、2019·聊城、2019·温州

2019·天津、2019·白银、2019·金华

2019·邵阳

求角度的方法比较多：

①利用角度之间的关系进行计算，主要是图形的性质，如互补、内角和、外角的性质等等；

②利用全等、相似进行转化，根据等量关系进行求解；

③利用相似、三角函数等得到比例关系，再得出角的大小。

也可以说分为两种思路：

①边的方面，得到线段的关系再求出角度；

②角度的关系，直接求或转化。

【中考真题】

一、与旋转有关的角度求值问题

1．（2019·福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．

（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；

【答案】（1）解：如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，

∵CA＝CD，

∴∠CAD＝∠CDA=1/2（180°﹣30°）＝75°，

∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；

备注：旋转得等腰三角形求再求直角三角形的锐角，本题为旋转的性质中常见的题目

2．（2019·常德）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是              ．

【答案】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，

∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'

∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°

∴∠ABD＝22.5°

故答案为：22.5°

二、与圆有关的角度求值问题

3．（2019·贺州）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．

（1）求∠ADB的度数；

【答案】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，

∴AF⊥OA，

∵∠F＝30°，

∴∠AOF＝60°，

∵OA＝OD，∠AOF＝∠ADB+∠OAF，

∴∠ADB＝∠OAF＝30°．

备注：本题其实蕴含了一个弦切角的问题。弦切角等于弦所对的圆周角。

4．（2019·扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠BAO＝25°，点Q是(AmB) ̂上的一点．

①求∠AQB的度数；

【答案】（2）解：①∵∠BAO＝25°，

∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，

∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，

∴∠AQB=1/2（∠AOP+∠POB）=1/2×130°＝65°；

备注：圆周角定理、内角和

5．（2019·聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是(BC) ̂上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（　　）

A．35° B．38° C．40° D．42°

【答案】解：连接CD，如图所示：

∵BC是半圆O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，

∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，

故选：C．

6．（2019·温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（(EDF) ̂）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于           度．

【答案】解：连接OE，OF

∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F

∴OE⊥AB，OF⊥AC

又∵∠BAC＝66°

∴∠EOF＝114°

∵∠EOF＝2∠EPF

∴∠EPF＝57°

故答案为：57°

备注：切线长定理

7．（2019·天津）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．

（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；

【答案】解：（Ⅰ）连接OA、OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，

由圆周角定理得，∠ACB=1/2∠AOB＝50°；

8．（2019·天津）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．

（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；

（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．

【答案】（Ⅱ）连接CE，

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ACE＝90°，

∵∠ACB＝50°，

∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，

∴∠BAE＝∠BCE＝40°，

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝70°，

∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．

9．（2019·白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（　　）

A．22.5° B．30° C．45° D．60°

【答案】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，

∵弦AB的长度等于圆半径的√2倍，

即AB=√2OA，

∴OA2+OB2＝AB2，

∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，

∴∠ASB=1/2∠AOB＝45°．

故选：C．

10．（2019·金华）如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．

（1）求(BD) ̂的度数．

（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．

【答案】解：（1）连接OB，

∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OA∥BC，∴OB⊥OA，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠ABO＝45°，

∴(BD) ̂的度数为45°；

（2）连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，

∵OH⊥EC，

∴EF＝2HE＝2t，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴AB＝CO＝EF＝2t，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴OA=√2t，

则HO=√(OE^2-EH^2 )=√(2t^2-t^2 )=t，

∵OC＝2OH，

∴∠OCE＝30°．

备注：勾股定理

11．（2019·邵阳）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．

（1）求证：△APO～△DCA；

（2）如图2，当AD＝AO时

①求∠P的度数；

【答案】（2）如图2，连接OD，

①∵AD＝AO，OD＝AO

∴△OAD是等边三角形

∴∠OAD＝60°

∵PB∥AD

∴∠POA＝∠OAD＝60°

∵∠PAO＝90°

∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°

备注：特殊三角形，特殊度数30°