【学法研究】求角的和差倍分通用模型

平面直角坐标系、正方形网格、矩形、直角三角形为背景的问题中，水平竖直长度是其核心要素，因而用“改斜归正”策略可以直达本质，简化问题，使问题得以高效解决。有一类求格点角（格点线段相交成的角）三角函数的中考题，实质是求已知角的和差倍分，我们来归纳它的一般方法和通用模型。

例.A、B、C在下图正方形网格中的格点上，则tan∠ABC=       .

可以构造如下图形解决：

上图中设AE=BC=10是为了简化运算，若设正方形边长为1，则AE、BC作为斜边要用无理数表示稍显麻烦。

实质上，本题可以看成：已知tan∠ABM=2/5，tan∠CBN=1/2，∠ABC=∠ABM+∠CBN，求tan∠ABC。

抛开网格，我们可构造如下简洁易算的“K形相似”模型，tan∠ABE=1/2，tan∠CBE=2/5，求tan∠ABC。

图中AD=2，DE=5，由AD:CE=DE:BC=AE:BE=1:2，得CE=4，BC=10，易求tan∠ABC=AF/BF=9/8。

这一模型可运用于求任意已知角的和差倍分，求角的和差倍分方法很多，本模型相对最为结构明确简洁易算，因为遵循了“改斜归正”的构图原则，计算过程中不需要斜边参加，降低了计算量。

1.二倍角

已知tan∠ABE=1/3，∠ABC=2∠ABE，求tan∠ABC的值。

构造模型如上图，AD=1，DE=3，由AD:CE=DE:BC=AE:BE=1:3，得CE=3，BC=9，得tan∠ABC=AF/BF=6/8=3/4。

2.平分角

已知tan∠ABC=4/3，∠CBE=1/2∠ABC，求tan∠CBE的值。

构造模型如上图，AF=4，DE=3，设AD=CF=x，tan∠ABE=AE:BE=DE:BC=tan∠CBE=CE:BC，所以DE=CE=2，x:2=2:(x+3)，x=1，得tan∠CBE=CE/BC=2/4=1/2。

3.两角和

已知tan∠ABE=2/3，tan∠CBE=1/4，∠ABC=∠ABE+∠CBE，求tan∠ABC的值。

构造模型如上图，AD=1，DE=4，由AD:CE=DE:BC=AE:BE=2:3，得CE=3/2，BC=6，得tan∠ABC=AF/BF=(4+3/2)/5=11/10。

4.两角差

已知tan∠ABC=3/2，tan∠CBE=1/3，∠ABE=∠ABC－∠CBE，求tan∠ABE的值。

构造模型如上图，BC=3，CE=1，设AD=a，DE=3a，tan∠ABC=AF:BF=(3a+1):(3-a)=3:2，得a=7/9，所以tan∠ABE=AE/BE=AD/CE=a=7/9。

灵活运用与推广

平时解题若能够注意总结归纳常用的方法和模型，考试时就可以根据实际情境审时度势随机应变，灵活选择解题方法，以高效率赢得考试成功。

再以两例看如何灵活运用通法与特法解题。

1.如下图正方形网格中，格点线段AB、CD交于点O，则tan∠AOC=     .

如图，平移一条格点线段，使角的顶点位于格点处，构造出三边可求的格点直角三角形，求得tan∠AOC=2。

上图中∠AOC=∠CDE=∠ADC+∠ADE，而tan∠ADC=1/3，tan∠ADE=1，用前述模型构造如下，亦可快速求得两角和∠ABC的正切值tan∠ABC=AF/BF=2：

2.如图，正方形网格中，格点线段AB、CD交于O点，则tan∠AOD=     .

这里先平移线段构造格点角，在网格足够大的情况下仍可以构造格点直角三角形，但是比较麻烦，这时可以采用前述模型解决，如下图，两角正切分别为1/2和2/3，求两角和的正切。

看图计算非常简单得tan∠ABC=7/4。

3.如图，点A（0，2），B（-3，0），C（-2，3），△ABC沿AB翻折得△ABD，求D点坐标。

题中∠CBO、∠ABO的三角函数值确定，构造同样的模型可以计算确定相关线段的长度求坐标。如下图：

本模型也可以推广用作求已知点关于定直线的对称点坐标的一般方法。这里我们体验到“K形相似”模型遵循“改斜归正”的策略，把“斜向线段”关系转化为“正向线段”关系，这样可以避免涉及斜边的繁琐计算，使解题过程简洁明确。