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1 向你介绍我是谁  2 本期内容有哪些 听一听：“平行四边形面积”之难 读一读：“平行四边形面积”教学分析与启示 赏一赏：数学小故事-变成两个三角形 3 轻轻松松听听书 本期内容：郜舒竹．“平行四边形面积”之难[J]．教学月刊，2020（2）：4-7. 4 坚持阅读8分钟 “平行四边形面积” 教学分析与启示 一般而言，平行四边形面积可以用出入相补的原理归结为长方形的面积。平行四边形面积教学在于培育推理能力和发展空间观念。一般教学教学是将平行四边形通过剪拼法，转化为长方形，进而运用长方形面积推导出平行四边形的面积。 教师在备课时候需要思考的问题是：学生怎么会自觉想到通过高进行割补，实现转化？学生怎么会想到平行四边形面积不能用邻边相乘呢？学生怎么会想到所有的平行四边形都可以转化为长方形呢？  学生怎么会自觉想到通过高进行割补，实现转化？ 一、聚焦说理，自觉发生 有这样一个经典的平行四边形面积的教学过程【1】： 第一步：直奔主题，真实解决问题。老师会提问：我们同学中都有这样一个平行四边形，你能自己想办法， 算出纸上这个平行四边形的面积是多少吗？你能知道平行四边形面积的计算方法可能是怎样的吗？ 第二步：开始教学，学生开始测量每条边的长度，几分钟之后，学生开始有了不同的答案，学生呈现了35平方厘米、28 平方厘米、32 平方厘米、 24 平方厘米、14 平方厘米。老师分别写到黑板上面。 第三步：深入说理，说明每一个答案的理由。教师引导学生一个个说出答案的想法，教师一个个从黑板上擦掉了学生排除的答案。教师陆续把 “24” 擦了，又把 “32” 擦了，结合学生的回答， 教师板书：7× 4÷2=14（ 平方厘米），针对这样的想法的学生，老师会这样评价：“敢于发表自己的意见， 这一点就很好，很勇敢。这样列式计算， 到底有没有道理呢？” 第四步：对比思辨，两种意见：一种认为是28平方厘米，另一种认为是35平方厘米。看看到底谁能说服谁！学生小组开始激烈地争论，学生汇报了排除法、平移法等说明28平方厘米的正确。老师追问：“为什么只有你们的28 平方厘米才是正确的呢？”学生思辨过程，排除了答案是14平方厘米。教师一步步引导学生思考，并且动态演示了平行四边形拉动的动态过程，引导学生观察“不断拉动平行四边形过程（见图1），平行四边形快要变成什么了，面积呢？”教师引导学生发现平行四边形面积与什么有关系？  第五步：一般推导。为什么平行四边形面积计算等于底乘高呢？用字母表示过程。 【分析与启示】 学生怎么会自觉想到通过高进行割补，实现转化？实际上，学生真实想法是并不显然能够想到。因此，教师如果创造开放的问题空间，理解学生想到各种方法的真实想法，那么，学生有各种想法都是合情的。教师引导学生通过“说理”，一步步深入下去，学生逐一呈现理由，并给出辩论机会。 聚焦说理，逻辑推理培育自觉发生的实现，主要原因是： 第一，教师创造了人文的空间，激发了平行四边形面积概念与推导研究的动机，准确把握学情，基于学情。 第二，平行四边形面积一课对于培育学生推理能力有重要价值。其一，学生建构了认知的对比。郜舒竹教授认为【2】，对于平行四边形面积之难体现在长方形和平行四边的差异，长方形的长和宽一旦确定，则长方形的形状和面积大小随之确定。一般的平行四边形不具有这样的确定性。一般平行四边形和长方形第二个差异，反映在面积与其一条边的协变关系。平行四边的一边边长增加，其面积可以不变，甚至可能减少。如果教学关注了这些，学生的思维会获得发展。因为，学生是自己经历解决问题，自己尝试，平行四边形面积可能是周长之和、可能是周长之和的一半、可能是底和高乘积，可能是底和高乘积一半等等。最终发现，平行四边形面积和高和底有关。其二， “说理”与 “转化”法之间的联系，教师如果更积极转向先进行“说理”角度，其积极意义在于，平行四边形面积教学积累了对合情推理的结论必须进行验证的思维经验。 有了上面的认识，我们了解到，聚焦说理，逻辑推理能力得以实现。那么，还有什么问题呢？ 学生怎么会想到平行四边形面积不能用邻边相乘呢？ 二、聚焦文化，自然接纳 有这样一个经典的教学【3】 第一步：微视频播放，老师提问：“土地分配公平吗？” 第二步：学生解决问题，学生提出猜想，平行四边形的面积s=ab。（a、b是相邻两条边）。板书（平行四边形面积S=ab） 第三步：验证，板书（验证）。教师提示小组要求，任务驱动，围绕学具，开展探究。围绕问题，拼出的长方形的长和宽与原来的平行四边形的关系？你能推到平行四边形面积计算公式吗？ 第四步：学生汇报割补方法。推导出平行四边形计算公式。 通过验证，得出结论：平行四边形的面积等于底乘高。教师补充：沿任意一条高都可以割补成长方形。 第五步：评估与延伸，平行四边形周长不变，图中的面积变小。（见图2）  教师进一步补充，我们的探究和古埃及数学家的探究方法有相似的情况。数学在不断犯错和纠错中进步。 第六步：结论应用，一边和对应边上的高乘积可以求平行四边形面积。等底等高的平行四边形面积相等变式练习。 【分析与启示】 教学的过程蕴含了融入数学史知识，其自然接纳体现在于： 第一、接纳儿童的错误思想，与数学家的思想联系。儿童把“平行四边形面积”想成是邻边相乘，这是自然的，因为平行四边形不过是一个歪了的长方形。相同在于，从形式上，都是四边形；从特性上看，都满足“对边平行且相等”。【2】 通过数学史发现，我们看到任意古埃及面积计算的背景是尼罗河的泛滥，计算公式是任意四边形的面积s=(a+c)/2/×（b+d）/2（a 、b、c、d都是四条边的长）。 第二、正是因为这样，学生在小组合作中进一步思考两个核心问题，使得研究过程变得深刻，变得让学习过程更为自然。 因为，以基本方法“割补法”看做逻辑起点，考虑到了学生空间观念的发生发展过程。因为：针对面积的计算基本图形，平行四边形的面积是割补法。 有了上面的认识，指向学生的全面发展。对数学史融入数学教学的基本想法，可以让学生接纳相关命题的差异。那么，还有什么问题呢？ 学生怎么会想到所有的平行四边形都可以转化为长方形呢？ 三、聚焦结构，内化关联 （1） 调整序列结构，内化升华 “平行四边形的面积”，除了剪拼法转化，还有哪些教学的路径，还可以调整教学的路径【4】，将三角形面积教学放置在平行四边形面积教学前面，从逻辑上并没有冲突。这样一来，它扩充了将平行四边形分割成两个三角形， 以三形面积公式为基础，通过“底×高÷2×2”推理得出平行四边形面积公式。 可以呈现出一个新的教学【5】 第一步：复习引入，揭示课题。 第二步：自主转化，经历公式的推导。（见图3）   第三步：巩固内化。 后测研究表明【5】，让学生自主探究，经历了平行四边形的面积的公式转化过程，沟通中实现了三角形面积和长方形面积的梳理，长方形学生更为熟悉，面积计算方法也比较简单，但转化中长宽和底高的对应难度更大一些；三角形面积计算方法略显复杂，但转化中面积公式推导更为简单。 【分析与启示】 学生怎么会想到所有的平行四边形面积都可以用底乘高计算，如何实现？ 教学的过程实践了调整序列的构想，其内化习得体现在于： 第一、这种转化的过程是一个显现与发展割补方式多样性有关。 第二、一种被称为斜而长的平行四边形，显然可以得到面积公式的推导。因为无论是什么样的平行四边形都可以转化为两个面积一样的三角形，从而获得公式的推导。 （2） 调整序列结构，关联升华 还有这样的一个教学【“三角形面积和平行四边形面积”（朱蕾，2015）】： 第一步：新旧联系，引发思考 1.从一个长方形（长是5厘米，宽是3厘米）。求长方形面积？如果在长方形中剪出尽可能大的三角形，你会怎么剪？ 第二步：深入研究，探究公式 1.初探三角形面积 学生剪出两种三角形，剪出来的三角形面积会有什么？剪出来三角形面积和原来的长方形的面积关系。学生可能会认为是长方形的一半。 2.二探三角形面积 一般三角形面积公式推导。 第三步：探究平行四边形面积计算公式 1.探究平行四边形面积公式 接着探究平四边形面积，就是原来三角形的2倍。 2.小结，说一说三角形面积和平行四边形面积公式有什么区别，为什么? 第四步：练习巩固 1.应用练习 2.回顾小结 3.课后延伸 【分析与启示】 学生怎么会想到所有的平行四边形面积都可以用底乘高计算，如何实现？ 教学的过程实践了调整序列的构想，其关联升华体现在于： 第一，教学序列调整，可以对长方形的面积、平行四边形面积、三角形面积进行实质上的对比。 第二，为什么要有结构教？因为学生不仅知道如何进行公式推导，而且也会进行知识关联。 第三，深入挖掘 “转化”过程中所蕴含要的思想方法。还可能提供给学生经历与体验运用面积公式的机会，因而可能在回应学生 “一种斜而长的平行四边形怎么转化为长方形？”促进与丰富学生对整个单元有概念性理解，以达到对平行四边形面积深度理解上留下痕迹。 张奠宙先生认为【6】，对于面积本质的真正理解， 需要借助现代数学中的测度理论。简言之，数学意义上的积测量，其实质是要对某些平面图形指定一个合适的数，使之满足三个基本特性：有限可加性、运动不变性和正则性。因此，无论平行四边形面积如何教学，有说理地教、有文化地教、有结构地教，最终实现学生推理能力发展、空间观念的培育、建模和创新意识的发展。 参考文献 ［1］潘小明．数学思维的发展不是空洞的— “平行四边形面积”教学实践及思考[J]．人民教育，2012(12):34-37. ［2］郜舒竹．“平行四边形面积”之难[J]．教学月刊，2020（2）：4-7. ［3］文萍， 岳增成．基于数学史的探究式教学研究[J]．教学月刊，2019(11):23-24. ［4］宋煜阳．“面积公式推导”教学序列思考与实践[J]．教学月刊，2019(4):6-11. ［5］方巧娟．应用推广与关系梳理—平行四边形面积公式探索[J]．教学月刊，2019(4):18-20. ［6］张奠宙，巩子坤，任敏龙，张园，殷文娣．小学数学教材中的大道理—核心概念的理解与呈现[M]．上海：上海教育出版社，2018：240． 5 赏一赏：数学小故事  小林放学途中，突然听到书包里有哭泣声。他打开书包，发现有一个几何图形在哭泣，如右图。 “你怎么了？”小林奇怪地问，“难道是其他伙伴不和你玩吗? “不是!”这个几何图抹着眼泪回答。 “那是为什么？” “是你欺负我！”几何图形说完后，哭声更大了。 “我怎么欺负你了？”小林不解地问，“你要跟我说明白才行呀！” 几何图形抹干眼泪说：“以前，我是一个四边形，只要画一条线就变成了两个三角形。可是，你今天却把我的拐角扯掉了，现在画一条线再也不能变成两个三角形！我好伤心！” 小林一听，“哦”原来是这样。 “别哭了！我一定帮你！”小林安慰几何图形。 于是，小林开始启动大脑，不一会儿，大脑里便蹦出一个好办法，他把这个办法说给几何图形听，几何图形乐得呱呱叫。 你知道小林是怎么做的吗？  答案：用一条线画成一个长方形，使得长方形正好把缺角处覆盖，然后得到两个三角形。 审核人：蓝海鹏 陈玲玲 陆肖丽 |
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