【中德睿咨询】控制图原理

引言

控制图是SPC的核心工具，于1924年由美国贝尔实验室的休哈特博士提出，其最早应用于二战期间的盟军军品质量控制，并被当时的美国列为最高国家机密。

而控制图在民用领域的应用，则有赖于二战后戴明在日本制造业的推广。正是凭借着以控制图为代表的质量管理手段，日本产品的质量在战后快速崛起并一度将美国甩在身后。

目前，控制图是制造业企业招聘质量、技术人员的必备知识要求。本文就来讲一讲控制图的基本原理。

生产过程中的变异

从事制造业的朋友都知道一个基本事实：生产过程中存在着无处不在的变异，正是这些变异，让产品的指标无法维持在一个恒定不变的数值。

一批电池做完了分容，容量是有波动的；一批材料做完了研磨，粒径是有波动的；一批浆料做完了涂覆，厚度是有波动的......

经过研究人们发现，一些变异是生产过程所固有的、无法消除，另外一些变异则是由生产过程中的异常状况造成、容易消除。根据以上原则，生产过程中的变异被分为了下面两种：

随机变异：生产过程固有的、无法消除的变异。例如涂布机的轻微震动、车间湿度的微小变化、烤箱电压的微小波动等。随机变异对产品一致性的影响往往比较小，并且也无法消除，因此我们允许生产过程中存在随机变异。

特殊变异：并非生产过程所固有、而是由出现了异常状况所造成的变异。例如来料指标不合格、烤箱温度没有达到工艺要求、湿度超标等。当出现特殊变异的同时，往往伴随着产品指标的大幅变化。

以涂布工序为例，其随机变异和特殊变异可以参考下面的例子：

对比两种变异我们发现：特殊变异造成的产品指标波动很大，因此为了保证产品的一致性，我们必须对其进行识别和消除。

而控制图，就是一种识别特殊变异的工具。控制图的原理，紧紧的抓住了 ”特殊变异会引发产品指标的较大波动“ 这一特点。通过判断产品指标的波动是不是异常偏大，来反推生产过程是否存在特殊变异。

具体而言，其原理如下：

控制图的原理

生产过程中，绝大部分数据是服从正态分布的。对于一个服从正态分布的数据而言，99.73%的数据都分布在 μ±3σ 之内。

如果数据超过了这个范围，我们就有理由说：数据波动太大了，超出了正常标准，很可能预示着过程出现了特殊变异。

假设我们现在有连续生产的三十个数据，我们以数据采集顺序为横坐标、以数据的大小为纵坐标，然后就可以用excel做出一个折线图：

对上面的数据，我们计算出其平均值为-0.032，其标准差为1.084，根据μ±3σ的原则，计算出其上下控制限分别为3.22和-3.29，将这两条控制限加入到上述折线图中，就得到了下面的控制图：

在上图中，我们发现收集到的30个数据没有任何一个大于上控制限或小于下控制限，因此我们可以说：由于数据没有特别大或者特别小的点，因此说明生产过程只发生了随机变异、没有发生特殊变异，

一般情况下，上述excel制作控制图比较麻烦，我们会使用minitab做控制图，选择方法如下：

minitab制作出的控制图结果如下：

细心的朋友会发现：minitab控制图计算出来的上下限，与刚才我们根据μ±3σ手算出来的上下限（3.22和-3.29）是有差异的，这是什么原因呢？

能把下面的内容看懂，你才能真正理解控制图的精髓所在：

控制限的计算方法

最开始，控制图的发明者与我们一样：直接用全体数据标准差的正负三倍来作为上下控制限，但随着各种各样情况的出现，人们渐渐发现直接用整体数据标准差是有问题的，例如下面的数据：

上图中的数据明显出现了分层：前面15个数据都比较小，后面15个数据都比较大。而第15个数据与第16个数据之间，显然是发生了特殊变异。

我们可以将上面的数据想象成电池的内阻：前面连续15个电池内阻都正常且比较低，从第16个开始，内阻明显增加了。显然，特殊变异发生在第15个电池及第16个电池的生产过程之间。

也就是说，上面的过程发生了特殊变异，但是当我们用30个数据的整体标准差做控制限时，控制限包含的范围会很宽，将全体数据包含进去，从而无法发现过程存在特殊变异。

遇到这一问题，我们需要重新梳理一下随机变异与特殊变异的关系。还是以上图的数据为例，其随机变异及特殊变异，可以展示成下面的样式：

如上图所示，第一个至第十五个产品之间的波动，是完全由随机变异引发的；同理，第十六个至第三十个产品之间的波动，也是完全由随机变异引发的。但是整体观察全体30个数据，里面则同时包含了随机变异与特殊变异。

也就是说，如果计算控制图上下限时简单的使用整体标准差，则里面不仅包含随机变异、还包含特殊变异。而由于特殊变异往往比较大，因此就会造成整体标准差跟着水涨船高，这样由μ±3σ计算出来的控制限范围就会很大，无法达到识别特殊变异的目的。

对于本例而言，前15个数据的生产过程只有随机变异、没有特殊变异，其标准差为1.01，要远远小于整体标准差4.07。使用前15个数据的均值、标准差制作出来的控制图结果如下：

上面的数据可以很好地展示实际的生产情况：前面15个数据都是受控的，从第16个数据开始，由于发生了特殊变异，过程变得不受控。

讲到这里，我们需要明确两个标准差的含义：

整体标准差：由全部数据直接按标准差计算公式计算出来的标准差，由于全部数据往往会包含特殊变异，因此整体标准差往往比较大，使用μ±3σ(整体)制作控制限，往往无法识别出特殊变异。

组内标准差：由数据中不包含特殊变异、只包含整体变异的部分，计算出来的标准差。在上例中，前面15个数据不包含特殊变异，因此用前面15个数据计算出来的标准差，就是组内标准差。同理，由于第16~第30个数据中也不包含特殊变异，因此用后面15个数据计算出来的标准差，也是组内标准差。

由两个标准差的定义我们可知：如果过程中只有随机变异而没有特殊变异，整体标准差和组内标准差会比较接近。但是如果过程存在特殊变异（上面的例子），整体标准差就会显著高于组内标准差。

但是现在问题又出现了：用控制图需要计算出组内标准差，而计算组内标准差需要把特殊变异排除掉，但想排除掉特殊变异又需要使用控制图.......我们陷入了一个到底先有鸡还是先有蛋的循环问题中......

文武可以负责任的告诉大家：自然界中是先有蛋的（爬行动物的蛋在孵化之前，胚胎发生变异，从而让这枚爬行动物的蛋在孵化之前变成了鸟的蛋）。那么对于控制图而言，到底是要先计算组内标准差、还是先识别出特殊变异呢？

答案自然是前者，我们要先计算出来组内标准差。但由于在计算组内标准差时，我们并不知道特殊变异发生在哪里，所以我们要采用一种估算方法。

依旧以上面的数据为例，我们共有30个数据，因此可以计算出29个移动极差（后一个数据减前一个数据）。移动极差的英文为move range，缩写为MR：

在求出的29个移动极差中，只有第15个（第16个数据-第15个数据）受到了特殊变异的影响而比较大，其它28个都只受随机变异的影响而比较小。我们将这29个移动极差的绝对值求平均值得出MRbar，这样就可以用MRbar的大小来代表数据的随机变异了。

此时，我们就可以用MRbar来代表数据固有波动的大小。但对于控制图而言，我们需要用的是标准差，此时我们还需要再次借用一个正态分布的特征：

对于任意正态分布而言，其移动极差均值与标准差之比为常数。

由于MRbar是所有MR绝对值的均值，因此即便个别数据点发生特殊变异，MRbar不会显著增加，故MRbar可用来代表随机变异所带来的过程波动。

又由于（对于正态分布而言）MRbar与σ成正比，因此算出了MRbar，就可以根据其估算出组内标准差。

有了组内标准差，再使用μ±3σ(组内)制作控制限，就可以避免使用整体标准差制作的控制限范围太大、而无法识别出特殊变异的情况：

上左图中，使用由MRbar估算的组内标准差来计算控制限，控制限很窄，准确识别出了过程的特殊变异。上右图中，使用整体标准差来作为控制限，无法识别特殊变异。

总结一句话，对于单值控制图而言，使用MRbar来估算组内标准差，并用估算的组内标准差来计算控制限，前提需要数据服从正态分布。

结语

本文介绍了单值控制图的原理，其逻辑是这样的：

       1）特殊变异是我们需要使用控制图来识别的；

       2）特殊变异造成的产品指标波动往往很大；

      3）我们认为当产品指标的波动幅度超过自身的μ±3σ时，就太大了，此时往往预示着发生了特殊变异；

      4）我们用μ 3σ及μ-3σ作为控制图的上下控制限，超过控制限，则认为过程发生了特殊变异；

       5）计算控制限的σ不能直接使用整体标准差，因为这样将无法识别数据分层的异常；

       6）我们需要使用不包含特殊变异、只包含随机变异的σ来计算控制限，这个σ叫做组内标准差；

       7）我们无法直接计算组内标准差，但是可以根据数据的MRbar进行估算：只要数据服从正态分布，则MRbar与σ的比值为常量。

       8）我们使用μ±3σ(组内)作为控制图的控制限，当数据超过控制限时，就认为生产过程发生了特殊变异，此时要及时预警和排查。

当然，本文仅介绍了单值控制图的原理，除此之外，控制图还有很多种，各种情况，文武将陆续在后面的文章中介绍。大家敬请期待。

中德睿简介：

深圳市中德睿企业管理咨询有限公司是专注于企业卓越运营管理模式的专业咨询机构，汇集了华为、亚马逊、丰田、苹果、TDK、BYD等30多位来自世界500强的战略咨询专家、精益大师、6sigma黑带大师、人力资源管理专家、卓越质量管理专家、卓越制造管理专家、卓越创新管理专家。

中德睿始终秉承着“服务一家，满意一家”的原则，认真对待每一个项目，致力于打造全新的卓越运营管理咨询模式，结合企业实际情况，现场诊断并量身设计出最符合企业需求的解决方案并予以实施。咨询业务涵盖战略制定、关键业务设计、组织结构优化、人力资源管理、生产运营改善、研发流程梳理、品质体系提升、供应链改良、工厂智能化等方面，为企业提供综合性咨询服务，旨在为企业打造卓越运营管理模式，帮助企业进行全方面的改善，解决众多棘手问题，助力企业转型升级，持续提升企业的核心竞争力，为企业创造最大价值。