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两个公共顶点的三角形、四边形是常见的几何图形。旋转过程中常出现两个三角形全等或者相似。一般利用SAS证明全等，或者利用两边成比例且夹角相等来证明相似。 今年深圳的题目也是一道套路题。 【中考数学】 （2020·深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE/AG=AB/AD=2/3，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE²+BG²的值是定值，请求出这个定值． 【分析】 题（1）目测线段相等，利用SAS即可证明结论； 题（2）就是在题（1）的基础上进行求解即可，也是SAS的全等； 题（3）变成了相似。但是结论变了。此类题目怎么做呢？ 图形旋转过程中要求DE²+BG²的定值。我们可以先定一个起点，算出其数值，然后再旋转90°算出一个数值，两个一对比就知道是不是定值了。再根据两个图形的解法得出一般的求解过程。 连接EG、BD得到一个四边形。观察发现对角线BE与DG是互相垂直的。 所以我们可以得到 DE²＋BG²＝EG²＋DQ²＋GQ²＋BQ²＝BD²＋EG²。 再转化为 AE²＋AG²＋AB²＋AD²＝260。 【答案】解：（1）∵四边形AEFG为正方形， ∴AE＝AF，∠EAG＝90°， 又∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠GAD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG； （2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG， 理由如下： ∵∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD， 又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形， ∴AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG； （3）【方法一】 过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M， 过点G作GN⊥AB交AB于点N， 由题意知，AE＝4，AB＝8， ∵AE/AG=AB/AD=2/3， ∴AG＝6，AD＝12， ∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN， ∴△AME∽△ANG， 设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b， ∴ED²＝（2a）²+（12+2b）²＝4a²+144+48b+4b²， GB²＝（3a）²+（8﹣3b）²＝9a²+64﹣48b+9b²， ∴ED²+GB²＝13（a²+b²）+208＝13×4+208＝260． 【方法二】 如图2，设BE与DG交于Q， ∵AE/AG=AB/AD=2/3，AE＝4，AB＝8 ∴AG＝6，AD＝12． ∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， ∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵EA/AG=AB/AD， ∴△EAB∽△GAD， ∴∠BEA＝∠AGD， ∴A，E，G，Q四点共圆， ∴∠GQP＝∠PAE＝90°， ∴GD⊥EB， 连接EG，BD， ∴ED²+GB²＝EQ²+QD²+GQ²+QB²＝EG²+BD²， ∴EG²+BD²＝4²+6²+8²+12²＝260． 【举一反三】 |
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