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吴恢銮 “一课研究”第24组成员. 杭州市天长小学 浙江省天长差异研究院研究院 听一听：深度学习深在哪里？ 读一读：基于高阶任务的深度学习课例研究 笑一笑：这道数学题很难吗？  基于高阶任务的深度学习的课例研究 课前慎思 数论是研究整数性质的一门学问，这门学科的内容十分抽象，概念非常密集，而且概念与概念之间的关系非常紧密，也很容易混淆。新课标出来后，一般把这个内容分成两节来编排，因数与倍数及相关内容为一单元，把最大公因数与最小公倍数放在分数意义的单元，与约分和通分相结合。新思维教材关于这块内容的编写非常有特色，该教材设计“自然数与整数”单元，比较系统化的研究自然数和整数的一些概念与性质。在学习因数与倍数之前，首先安排了数的整除、能被2、5、3整除的数的特征等内容的学习，把因数与倍数的学习建立在数的整除基础上，这是非常符合数论内部逻辑发展的，因为整除是其它概念产生的上位概念。当教材更加关注知识本身的逻辑结构的时候，付出的代价可能就是学生要多接受几个关键概念，比如整除的概念，这个概念很重要，但也非常抽象，特别是那要命的句式：12能被3整除，3能整除12，很容易混淆。像这样形式化的知识，可以淡化处理。当一旦整除概念建构起来，对学习因数与倍数是有帮助的，12能被1、2、3、4、6、12整除，我们就说12是1、2、3、4、6、12的倍数，1、2、3、6、12是12的因数，学生并不难理解。 这节课学生的基础在哪里？首先学生已经有整除的概念，其次已经积累了丰富的“因倍意识”，比如3×4=12，学生已经知道3和4是因数，但这时的因数是作为名称存在，而不是作为关系存在，12÷3=4,12是3的4倍，这个倍数倒是作为关系存在，但还不是数论严格意义上的关系，只要把个经验改造过程，并把因数与倍数纳入到整除概念的系统中，学习起来并不难。 教学目标： 1、让学生经历因数和倍数概念发生的过程，理解因数与倍数的概念，体会一个数的倍数与因数之间相互依存的关系。让学生经历找一个数的因数与倍数的过程，掌握求一个数的因数与倍数的方法。让学生经历找一个数的最小因数、最大因数、最小倍数的过程，知道一个数的最小因数是1，最大因数是本身，最小倍数是本身。 2、让在探索一个数的因数与倍数的过程中，发展学生思维的有序性，促进学生数感的发展。 3、经历完美数的探寻过程，培养对数学的好奇心；经历找因数与倍数的过程，养成独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，逐步形成数学素养。 教学重点：掌握因数与倍数的概念以及找一个数的因数与倍数的方法。 教学难点：理解因数与倍数两个概念是相互依存关系，理解因数与倍数的联系与区别。 教学流程  一、巧用模型，建构意义 教师可以创设以下三个活动任务： 任务1：出示12个完全相同的小正方形，引导学生在头脑中将它们摆成一个长方形，并试着用乘法与除法算式将相应的摆法有序地表示出来。在此基础上，师生共同建构因数和倍数的意义。 可以这样引导与反馈： 师：12个小正方形只能摆出3种不同的长方形，可以得到相应的乘法算式和除法算式。千万别小看这些算式，今天我们研究的内容就在这里。我们先以第3道乘法算式为例，因为12=3×4，所以我们就说3是12的因数，4是12的因数，12是3的倍数，12也是4的倍数。这就是我们今天所要研究的因数和倍数。（板书：因数与倍数） 师：请同学们从12=1×12和12=2×6选择一个算式，来说一说，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 然后反馈学生的表述，学生通过语言表述，初步理解两个概念的相互依存关系。 师：请同学们仔细观察图式，12能被哪些数整除？ 师：12能被1、2、3、4、6、12整除，我们可以说12是1、2、3、4、6、12的倍数，1、2、3、4、6、12是12的倍数。 任务2：从3、5、18、20、36这五个数中挑两个数说一说谁能被谁整除，谁是谁倍数，谁是谁的因数数。 用课件反馈如下表述：20能被5整除，20是5的倍数，5是20的因数。这样的例子收集3个，然后进行抽象概括： 师：同学们，当数a能被数b整除，我们就把a叫做是b的倍数，把b叫做a的因数。 任务3：讨论5和7是不是12的因数，为什么？可以通过两种方式解释： 一种通过摆小正方形，发现12个小正方形不能拼成5个一行或7个一行的长方形，12不能被5和7整除，所以5和7不是12的因数。 另一种就是借助除法算式，发现不能整除，所以5和7不是12的因数。 设计意图 借助拼长方形数学活动，提供了几何模型，使得因数与倍数概念的建构找到了经验支撑，有利于理解。通过与整除概念的求联，可以把因数与倍数放入整除这个大概念中去同化求联，以形成完善的概念链。活动任务3，通过反例分析，进一步深化对概念外延的理解。 二、任务挑战，提升思考 1、探索找一个数的因数的方法 设计找全18的因数的活动。 师：刚才我们知道3是18的因数，除了3之外还有哪些是18的因数。（出示活动要求） （1）独立思考：找出18的所有因数，再想一想，你是怎样找的？ （2）小组交流：你最喜欢哪幅作品，为什么？ （3）大组汇报： 这个层次主要让学生自主学会找一个数的因数的方法，学生出现的困难，就是不知道如何有序的找，出现的错误就是找不全。可以这样反馈与指导： 分别呈现三幅作品： 第一幅只找了部分因数，第二幅全部找出来了，但排序是乱的，第三幅不仅全对，而且有序排列。通过三幅作品的分析，让学生掌握可以借助乘法或除法的算式一对一对的找，然后从小到大排列起来。 在这个基础上，出示全班学号表，让学生找一找自己学号的因数。  师：哪些学号的因数比较特别？ 然后收集：1、3、4、6、9、21、23的因数。并让学生说一说自己学号的因数特别在哪里？ 预计1：我是1号，1只有一个因数，所以很特别。 预计2：我的学号是23号，只有两个因数。（老师可以让只有两个因数的学号同学站起来，并提问：你们学号的因数有什么特点？ 预计3：我的学号是4号，因数的个数是奇数个。像这样的学号还有9、16、25、36。（老师追问：看看这些数有特点？让学生发现都是一个数的平方数。） 有时间还可以渗透6的因数很特别：除了因数本身外，其它因数相加刚好是1+2+3=6，数学家称为“完美数”。6是第一个“完美数”，让学生找一找第二个“完美数”：28。然后渗透“完美数”的发展历程。 在这个基础上，再借助数轴引导学生观察因数的个数：  发现因数的特点：一个数最大因数是它本身，最小因数是1，因数的个数是有限的。 师：为什么因数的个数是有限的，请说明理由。 设计意图 借助全班的“学号表”，设计找“学号因数”活动任务，通过分层次活动任务，有序列的分类反馈有些特别自然数因数的特点，比如1只有一个因数，素数只有两个因数，平方数有奇数个因数，在动态交互活动中容易发现比较隐蔽的规律。像这样有挑战性、趣味性的高认知水平的数学任务设计，可以促进学生全面观察、有序思考、分析概括与综合评价等高阶思维的发展。 2、探索找一个数的倍数的方法 让学生完成以后两个任务： （1）找出3的倍数：你是怎么想的？ （2）试一试找出2与5的倍数 通过观察比较，让学生发现：一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，而因数的个数是有限的。 3、发现因数与倍数的联系与区别 根据黑板上的板书，提问：请你静静的观察这些数的因数与倍数，有什么发现? 预计： （1）一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，一个数的因数的个数是有限的。 （3）一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。 …… 在学生发现的基础上，再借助数轴梳理因数与倍数个数的特点：  三、分层练习，提升能力。 1、基础巩固 （1）填空 （1）1×28=28 2×14=28 4×7= 28 28的因数有（ ）。 （2）先写出两个整数相乘得56的算式，再写出56的所有因数。 56的因数有（ ）。 （2）判断题 ①因为4×5=20，所以4和5是因数，20是倍数。（ ） ②因为0.2×3=0.6，所以0.2是0.6的因数，0.6是0.2的倍数。（ ） ③因为a÷6=b（a,b都是整数），所以b是a的因数，a是b的倍数。（ ）。 ④18的最大因数和最小的倍数都是它的本身。（ ） 2、能力提升 根据以下提供的信息，请猜一猜豆豆的学号是多少？ 信息1：它有因数2； 信息2：它也有因数3； 信息3：它还是5的倍数。 3、实践创新 用若干张长是2厘米、宽是3厘米的长方形摆正方形。如果摆出的正方形的边长在15厘米~20厘米之间，你能摆出怎样的正方形？  设计意图 根据顾泠沅教授的习题水平层次理论，基于学生的能力差异，设计多层次练习，满足不同学习能力的学生，促进有差异的发展。基础巩固题，面向全体学生，突出基础性，帮助学生进一步因数与倍数概念的“互存性”关系，避免概念混淆；能力提升题，思维含量比较高，突出对多元信息的综合考量，概念的深化理解与应用。实践创新题，不需要人人掌握，是对后续知识的孕伏，突出前瞻性与实践性，以及思维的创造性。 感谢 本课例得到陈敏老师、倪森鹤老师帮助和指导，特此感谢。本文发表于2020年《小学教学设计》第7、8合刊上。 5 一个农夫有 20 头猪。一天，他让儿子去数一下猪，看是否都在，过了一会儿，儿子回来了。 农夫问：怎么样？猪少了吗？ 儿子：我只数了 19 头，另一头小猪到处跑，跑得太快，我怎么也数不上它？  你若盛开 蝴蝶自来 |
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