数学到底是什么？布尔巴基学派启示录（上）

几百年来，法兰西民族给近现代世界的文化进步和科技发展起到了引领大潮的推动力作用，并为此贡献了一代又一代的天才人物。十七世纪从科学哲人笛卡尔、帕斯卡，到“业余数学家之王”费马；十八世纪从启蒙思想家伏尔泰、狄德罗、卢梭，到1789年的法国大革命；十九世纪从伟大小说家巴尔扎克、雨果及现实主义雕塑大师罗丹，到流芳百世的数理全才庞加莱和造福人类的生物巨人巴斯德，他们所代表的各行业的杰出法国学者为人类的荣耀增添了光辉。

二十世纪三十年代的法国，出现了一个被称为“布尔巴基”的数学团体，它的成员均为那时还未成名的法兰西年轻数学家。然而在很短的时间内，这个团体以它的数学观和它的著作，像一颗耀眼的明珠迅速升腾在世界数学的天空，在六七十年代达到辉煌，其对国际数学界甚至中小学数学教育不可忽视的影响力也在那时臻于极大。

到了新世纪，虽然布尔巴基不再光辉如初，它的著作也少有出版，但它依然存在，依然定期举办讨论班，依然召开数学会议，依然影响着世界各地的数学。我国当前的数学氛围和前景，与当年布尔巴基诞生之初的环境有类似之处，数学界的思维状态也和法国那时的情景有可比之点。因此重温一下布尔巴基这个在上世纪影响国际数学几十年的数学家团体的兴衰史，分析一下它的数学世界观，或许能给予我们关于“数学到底是什么”的一丝线索。

布尔巴基的诞生

布尔巴基是如何“横空出世”的？这要从当时法国数学界的状况谈起。上世纪初的第一次世界大战，敌对国德国的政府聪明地设法保护自己的年轻才俊免上前线当炮灰，从而保存了一批未来的优质科学家，大概他们从一百年前的法国统帅拿破仑那句名言“我不会杀了会下金蛋的老母鸡”中学到了什么。然而法国政府却好像忘掉了历史伟人的这句忠告，让年轻人聚集在爱国主义的大旗下，一视同仁地奔赴前线战场，连1794年创办的精英大学巴黎高等师范学校（简称巴黎高师或高师）的学子们也不例外。结果是，从1911年到1914年进校的高师数学系学生，几乎半数在大战中丧生；从1900年到1918年进入高师的331名学生中，四分之一没能从战场上归来。

图1 拿破仑

到了二十年代，一批法国数学界未来的精英考取了巴黎高师。他们当中有五位是十年后布尔巴基诞生的“助产士”：嘉当 (Henri Cartan，1904-2008) 、谢瓦莱(Claude Chevalley，1909-1984)、德尔萨特 (Jean Delsarte，1903-1968) 、迪厄多内 (Jean Dieudonne，1906-1992) 和韦伊 (André Weil，1906-1998) 。这五个布尔巴基的最初成员中，德尔萨特和韦伊、嘉当、迪厄多内及谢瓦莱分别于1922、1923、1924及1926年进校。所以巴黎高师是培育出布尔巴基的摇篮。

在他们大学求知的岁月，巴黎高师的数学家群体以及更广泛的法国数学界因为世界大战而落到青黄不接的地步。虽然皮卡 (Charles Picard，1856-1941) 、阿达马 (Jacques Hadamard，1865-1963) 、波莱尔 (Felix Borel，1871-1956) 、勒贝格 (Henri Lebesgue，1875-1941) 等名闻天下的一流数学家依然健在，但都已垂垂老也，早已超出富于创造力的年岁。比他们年轻二十来岁的新一代数学家，或已经战死疆场，或还未羽毛丰满。祖父级年龄教授的沉闷课堂、使用了多年未变的陈旧教材，都让他们深感失望。

图2 巴黎高师

1982年，在一篇采访记中，嘉当回忆了导致布尔巴基诞生的最初想法和直接起因：

“1934年，韦伊和我都在斯特拉斯堡大学教书。我常和他谈到我所教的微积分课。因为所用的教科书不令人满意，尤其关于多重积分和斯托克斯定理，我一直在想怎样用最好的方式教这门课。我和韦伊就我的担心讨论了几次。某一天风和日丽，他对我说‘我们需要永久性地解决这个问题。我们应该写一本关于分析的好教科书。这样你就不再埋怨了。’”

布尔巴基的主要肇始者韦伊在他出版于1991年的自传《一位数学家的学徒日子》(The Apprenticeship of a Mathematician) 中，证实了前一个肇始者回忆的正确性：

“1934年的一个冬日，我想出一招以停止我朋友不停的疑问。我告诉他（嘉当），‘我们五六个人在不同的大学教同样的课。让我们一起解决这个问题，然后我将终于听不到你的问题了。’我没有想到布尔巴基就在此刻诞生了。”

除了上述的五人外，库伦 (Jean Coulomb，1904-1999)、埃雷斯曼 (Charles Ehresmann，1905-1979) 、芒德布罗伊 (Szolem Mandelbrojt，1899-1983；分形之父芒德布罗 (Benoit Mandelbrot，1924-2010)的叔父) 及波塞尔 (Rene de Possel，1905-1974) 等四人也参与了这个数学团体的创建。在这九个创始人中，仅仅出生于波兰、年龄最长的芒德布罗伊不是高师出身，波塞尔本质上不是数学家，而是地球物理学家，早在1937年就“脱党”了。

1934年12月10日是礼拜一，这九人中的六位——嘉当、谢瓦莱、德尔萨特、迪厄多内、波塞尔和韦伊——趁着参加庞加莱研究所的朱利亚讨论班之机，在巴黎拉丁区的一个名叫A. Capoulada的餐厅地下室，围着餐桌一边吃午饭，一边举行了第一次“工作会议”。他们都不到30岁，年纪最小的谢瓦莱才25岁，尚未正式任教，其余的五人都不在巴黎的大学教书：嘉当和韦伊在斯特拉斯堡大学，德尔萨特在南锡大学，迪厄多内在雷恩大学，而波塞尔在克莱蒙特-费朗大学。

他们的目的很简单很直接：为法国高等教育撰写一部新的分析教材，以取代目前不令人满意的教科书——比如用了多年的古尔萨 (Edouard Goursat，1858-1936) 的那本《分析学》。按照韦伊的想法，有必要“通过写出一本覆盖广泛材料的分析教程，为未来的25年建立微积分学的内容”，而且此书应“尽可能现代化”。为了完成这一使命，德尔萨特强力支持集体写作的想法，并且希望第一卷要在六个月后出版（事实上第一卷到了1939年才问世），嘉当则提议整套书的篇幅最多在1000到1200页之间（事实上到目前为止，完成日期“不可预测”的这套书已出的三十多卷总页数已超过了六千页），而韦伊提出建议成立确认各个章节内容的几个子委员会。

1935年7月，这群年轻数学家召开了第一次全体会议。7月16日可以被认为是“集体笔名”布尔巴基的诞生日。那天，忙着开会但讨论问题未果的他们决定休息一会儿，便跑到三英里外的Pavin湖边。一个有根据的说法是：

“他们中的几人有足够的勇气跳进水中，一边随波逐流地裸体畅游，一边叫喊‘巴尔巴基’上百遍。”

“布尔巴基”就这样降落人间！

图3 布尔巴基学派1938年集会的情景 | Wikipedia

布尔巴基的传奇

“布尔巴基”仅仅是我年轻时读报纸常常看到的像“梁效”、“丁学雷”这样的写作班子的笔名吗？不，它是十九世纪一个具有希腊血统的法国将军的姓，这位将军全名叫查理·布尔巴基 (Charles Bourbaki，1816-1897) 。

布尔巴基将军毕业于法国的“西点军校”——I’Ecole Spéciale Militaire，有过几十年的戎马生涯，从非洲到意大利打了无数次的仗。在1870-1871的普法战争中，他先赢后输，而这也折射出当时法国的情景。

为何这位或许不懂得多少微积分的昔日军人与这帮今日数学才俊有缘？事实上，这同来自巴黎高师的一出恶作剧有关。1923年，一个数学系三年级的大学生雨松 (Raoul Husson) 决定对一年级新生来个恶作剧，他贴了一张海报，说Holmgren教授要做一个讲演，所有新生都要参加。结果如韦伊在其自传中所述：

“戴着假胡子，发着怪音，他向学生们介绍自己后开始讲经典函数论，然后小小地上升到一个故弄玄虚的高度，最后以‘布尔巴基定理’结束。这个故事成了传奇，但更传奇的是一个学生声称他听懂了整个的讲座。”

始作俑者雨松从法国军事史中看到布尔巴基的名字，普法战争也刚过去55年，加上布尔巴基将军的麾下有高师的学生，他的名字还在人们的记忆之中，故雨松把他的名字借来张冠李戴地用在了数学上！

三十年代再次成为“布尔巴基”麾下的数学家们，干脆假戏真做地搞起了幽默勾当。首先他们决定用他的姓作为所建团体的名称。为了展示它作为一个人物个体的“真实存在性”，他们决定在法国科学院发表以之署名的一篇数学文章，但这还需要一个名。韦伊未来的太太伊夫兰 (Eveline) 则为布尔巴基起了一个与末代沙皇一样的名“尼古拉”，这样Nicolas Bourbaki就成了这个数学组织的正式全名。韦伊自告奋勇地杜撰了布尔巴基的简历，开了一次嘉当之父、陈省身的老师老嘉当 (Elie Cartan，1869-1951) 的后门，送到科学院秘书皮卡手上，因为在科学院发表文章需要一位院士的推荐。

这位无中生有的尼古拉·布尔巴基，在热爱语言和文学的韦伊 [须知他的妹妹西蒙娜 (Simone Weil，1909-1943) 是享有世界声誉的法国哲学家和社会活动家] 绘声绘色的生花妙笔下，是个颇有成就的数学家，生于1886年，在祖国的哈尔科夫大学毕业后，获得奖学金，去了巴黎，然后到了哥廷根大学，分别师从庞加莱(Henri Poincaré，1854-1912) 及希尔伯特(David Hilbert，1862-1943) ，1910年在母校成功答辩学位论文。后来他的学术生涯丰富多彩，合作者无数，名誉扶摇直上。为了避免被查询，韦伊故意申明布尔巴基的博士论文在1941年德寇入侵后被摧毁，真是描绘、掩饰得天衣无缝。

图4 数学家安德烈·韦伊 | Wikipedia

布尔巴基出名后，各国数学界人士却从来没有在公开场合目睹尊容，他也像隐士一样地不露峥嵘，成了数学界一个迷。如果他的确是个真人，则比去世前的数学大师格罗腾迪克(Alexandre Grothendieck，1928-2014) 或证明庞加莱猜想的佩雷尔曼 (Grigory Perelman，1966-)