【原】通性通法｜函数“零点问题”最常三招

要说导数中最常见的题型，当然应该就是零点问题了。

有娃说，极值点也是常考的。

但极值点不就是导函数的零点么！

也刻意翻了翻近几年的全国卷考题：

年份	全国Ⅰ卷	全国Ⅱ卷	全国Ⅲ卷
2020	单调性 函数不等式	单调性 函数不等式	切线 零点范围
2019	极值点 零点个数	零点个数 切线	单调性 最值
2018	单调性 极值点 对数平均不等式	函数不等式 零点个数	函数不等式 极值点
2017	单调性 零点个数	极值点 函数最值	函数最值 数列不等式
2016	零点个数 极值点偏移	单调性 函数最值	函数最值 函数不等式
2015	切线 零点个数	单调性 函数最值

是不是发现，函数的零点，绝对算是个高频考点了？

零点考什么？

高考中对于零点的考查，主要还是通过函数零点的这个问题背景，考查考生的逻辑推理和数学运算能力的。

逻辑推理和数学运算，不正是很多同学的弱项的么？

所以说，零点问题，对于很多同学来说，还是有一定的难度的。

当然，今天我们主要介绍零点的一般性处理思路，看看能不能达到类似于通性通法的效果。

那么，还是先熟悉一下零点的相关概念吧。

Part 1

相关知识点

一、函数的零点

①函数零点的定义：

对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点。

函数的零点不是坐标，也不是一个具体的点，而是一个数。

②函数零点的意义：

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。

③零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少存在一个零点。

存在性定理，只能判定函数在某个区间内有没有零点，但不能判定零点个数。零点个数的确定往往需要结合函数的图像去进行判定。

④二分点估算零点

第一步：确定区间[a,b],并验证f(a)·f(b)<0,

            并给出精度ε；

第二步：求区间(a,b)的中点x₁；

第三步：计算f(x₁).

  ①若f(x₁)＝0，则x1就是零点；

  ②若f(a)·f(x₁)<0，则令b=x₁，

     此时零点x₀∈(a,x₁);

  ③若f(x₁)·f(b)<0，则令a=x₁，

     此时零点x₀∈(x₁,b);

  ④判断x₀是否达到精度ε，即|a-b|<ε，

     则得到零点a或b;若达不到，则重复

     第②到④步。

二、零点的求法

在具体问题中，求函数零点一般可以从以下角度进行处理。

①直接利用方程求零点：

   令f(x)=0，求出方程的根，方程的根即为函数零点；

②利用图像交点求零点：

   将函数变形为两个函数的差，利用数形结合，将零点问题转化为两个函数图像的交点问题；

③利用零点存在性定理：

   先确实函数在[a,b]上图像连续，且f(a)·f(b)<0,并结合函数性质（单调性、对称性、极值）确定有几个零点。

Part 2

典型例题解析

通过前面对近几年高考题的研究，你应该已经发现了，切线的求法，也应该要引起重视的。

曲线的切线方程求法：

①对于二次曲线y=f(x)：由y=f(x)及直线y=kx+b联立消元后，利用Δ＝0，并结合已知点或斜率，求得切线方程。

②对于一般曲线：根据已知切点或设切点横坐标x₀求出切线斜率f'(x₀)，利用点斜率式写出切线方程。

求出b的值以后，我们就可以从解方程、数形结合和零点存在性定理这三个角度，对零点的个数及零点的大小进行分析了。

Ideas 1

方程的角度

Ideas 2

数形结合角度

Ideas 3

函数性质角度

以上是解决函数零点问题最常规的三种思路分析，虽然用它们并不一定能够解决所有的零点问题，但应该会让我们对于函数的零点，有一个更清晰的认识。同时也提醒我们，平时要通过处理类似的综合性问题，提高自己分析和解决问题的能力。

最后再强调，函数零点的处理主要从下面三个角度切入分析：

方程的角度

↓

分离函数后数形结合角度

↓

零点的存在性定理角度

END

您的点赞和在看，都是对作者的鼓励。